Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 6 № 56011

 

Периметр прямоугольника равен 10, а площадь равна 4,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.


Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна их произведению. Обозначим длины сторон a и b. Тогда периметр и площадь прямоугольника соответственно равны P=2(a плюс b)=34 и S=ab=60. Решим систему:

\left\{ \begin{align}  новая строка a плюс b = 17,  новая строка a b = 60 \end{align} равносильно \left\{ \begin{align}  новая строка a = 17 минус b,  новая строка 17 b минус b в степени 2 = 60 \end{align} равносильно \left\{ \begin{align}a = 17 минус b,  новая строка левая квадратная скобка { \begin{align} b=5, b=12 \end{align} правая фигурная скобка \end{align} равносильно левая квадратная скобка \begin{align} \ \left\{ \begin{array}{l} a=12, b=5, \end{array} \left\{ \begin{array}{l} a=5, b=12. \end{array} \end{align}

 

Тем самым, стороны прямоугольника треугольника равны 5 и 12.

 

Диагональ разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых она является гипотенузой. Пусть длина диагонали равна c, тогда по теореме Пифагора

c = корень из { 5 в степени 2 плюс 12 в степени 2 }= корень из { 25 плюс 144}=13.

 

Ответ: 13.

 

Примечание 1.

Можно заметить, что система уравнений a плюс b=17, ab=60 является системой Виета. Поэтому её решения — корни квадратного уравнения t в степени 2 минус 17t плюс 60=0, откуда t=5 и t=12.

 

Примечание 2.

Можно было и вовсе не решать систему уравнений: действительно,

с в степени 2 =a в степени 2 плюс b в степени 2 =(a плюс b) в степени 2 минус 2ab=17 в степени 2 минус 2 умножить на 60=169 = 289 минус 120=169,

откуда c=13.