Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 6 № 56005

Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Решение.

Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна их произведению. Обозначим длины сторон a и b. Тогда периметр и площадь прямоугольника соответственно равны P=2(a плюс b)=8 и S=ab=3,5. Решим систему:

\left\{ \begin{align}  новая строка a плюс b = 4,  новая строка a b = 3,5 \end{align} равносильно \left\{ \begin{align}  новая строка a = 4 минус b,  новая строка 4 b минус b в степени 2 = 3,5 \end{align} равносильно \left\{ \begin{align}a = 4 минус b,  новая строка левая квадратная скобка { \begin{align} b= дробь, числитель — 4 плюс корень из 2 , знаменатель — 2 , b= дробь, числитель — 4 минус корень из 2 , знаменатель — 2 \end{align} правая фигурная скобка \end{align} равносильно левая квадратная скобка \begin{align} \ \left\{ \begin{array}{l} a= дробь, числитель — 4 минус корень из 2 , знаменатель — 2 , b= дробь, числитель — 4 плюс корень из 2 , знаменатель — 2 , \end{array} \left\{ \begin{array}{l} a= дробь, числитель — 4 плюс корень из 2 , знаменатель — 2 , b= дробь, числитель — 4 минус корень из 2 , знаменатель — 2 . \end{array} \end{align}

 

Тем самым, стороны прямоугольника треугольника равны  дробь, числитель — 4 минус корень из 2 , знаменатель — 2 и дробь, числитель — 4 плюс корень из 2 , знаменатель — 2 .

 

Диагональ разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых она является гипотенузой. Пусть длина диагонали равна c, тогда по теореме Пифагора

c = корень из { ( дробь, числитель — 4 минус корень из 2 , знаменатель — 2 ) в степени 2 плюс ( дробь, числитель — 4 плюс корень из 2 , знаменатель — 2 ) в степени 2 }= корень из { 9}=3.

 

Ответ: 3.

 

Примечание 1.

Можно было и вовсе не решать систему уравнений: действительно,

с в степени 2 =a в степени 2 плюс b в степени 2 =(a плюс b) в степени 2 минус 2ab=4 в степени 2 минус 2 умножить на 3,5=16 минус 7=9,

откуда c = 3.