Ре­ше­ние. а, б) Если было по од­но­му участ­ни­ку с 2, 80, 1000 бал­лов, то сред­ний балл сдав­ших со­став­лял 1000, а не­сдав­ших  — 41. После до­бав­ки их ре­зуль­та­ты стали 7, 85, 1005. Те­перь сред­ний балл не­сдав­ших 7, а сдав­ших 545.

в)  Пусть было x школь­ни­ков с ре­зуль­та­том не менее 83 (они сдали сразу), y школь­ни­ков с ре­зуль­та­та­ми от 78 до 82 (они сдали после до­бав­ле­ния бал­лов) и z школь­ни­ков с ре­зуль­та­та­ми, мень­ши­ми 78 бал­лов (они не сдали не­смот­ря на до­бав­ку). По­сколь­ку сред­нее равно сумме бал­лов, де­лен­ной на число сда­ю­щих, по­лу­ча­ем:

− сумма всех бал­лов участ­ни­ков

− сумма бал­лов сдав­ших из­на­чаль­но

− сумма бал­лов из­на­чаль­но не­сдав­ших

− сумма бал­лов у сдав­ших после до­бав­ки

− сумма бал­лов у не­сдав­ших даже после до­бав­ки

Если сло­жить баллы сдав­ших и баллы не­сдав­ших, по­лу­чат­ся баллы всех (после до­бав­ки надо не за­быть до­ба­вить всем по 5 бал­лов). По­лу­ча­ем два урав­не­ния

После упро­ще­ния по­лу­чим и То есть и Зна­чит,

Итак, уче­ни­ков было не менее 15. При­ве­дем при­мер для 15 уче­ни­ков. Было 9 уче­ни­ков с ре­зуль­та­том 100, 5 уче­ни­ков с ре­зуль­та­том 74 и один уче­ник с ре­зуль­та­том 80. Не­труд­но про­ве­рить, что все усло­вия вы­пол­не­ны.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.