Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 526256

В июле планируется взять кредит в банке на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на x% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите x, если известно, что за весь период выплатили на 15% больше, чем взяли в кредит.

Спрятать решение

Решение.

Пусть начальная сумма кредита равна S0, тогда переплата за первый год равна  дробь: числитель: x, знаменатель: 100 конец дроби S_0. По условию, ежегодный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежегодной выплаты, равной S0/15, и ежегодной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной

 дробь: числитель: x, знаменатель: 100 конец дроби S_0, дробь: числитель: 14, знаменатель: 15 конец дроби умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: 100 конец дроби S_0,..., дробь: числитель: 2, знаменатель: 15 конец дроби умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: 100 конец дроби S_0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: 100 конец дроби S_0.

Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:

 дробь: числитель: x, знаменатель: 100 конец дроби S_0 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 14, знаменатель: 15 конец дроби плюс ... плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: x, знаменатель: 100 конец дроби S_0 умножить на дробь: числитель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 15= дробь: числитель: 2x, знаменатель: 25 конец дроби S_0.

По условию общая сумма выплат на 15% больше суммы, взятой в кредит, тогда:

0,08xS_0=0,15S_0 равносильно x=1,875.

 

Ответ: 1,875.

 

Примечание Дмитрия Гущина.

Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на x% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами

П = дробь: числитель: x, знаменатель: конец дроби 100 умножить на дробь: числитель: n плюс 1}2 S_0, В = S_0 плюс П = S_0 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: {, знаменатель: x конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 200 конец дроби правая круглая скобка .

В условиях нашей задачи получаем:  дробь: числитель: x левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 200 конец дроби S_0 = 0,15S_0, откуда для n = 15 находим x = 1,875.

 

Доказательство формул (для получения полного балла его нужно приводить на экзамене) немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 15 лет на n лет и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 510103: 509324 509345 509972 509980 510110 517203 517241 517582 526256 Все

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Центр, Задания 17 (С5) ЕГЭ 2019
Классификатор алгебры: Задачи о кредитах