Ре­ше­ние. а)  Пусть a  — пер­вое число. По­ста­ра­ем­ся найти це­поч­ку вида:

Для за­цик­ли­ва­ния тре­бу­ет­ся, чтобы Это урав­не­ние имеет на­ту­раль­ное ре­ше­ние: Дей­стви­тель­но, имеем це­поч­ку, со­сто­я­щую из пяти чисел:

б)  По усло­вию или или Но   — не­чет­ное число, по­это­му есть ровно одна воз­мож­ность:   — снова не­чет­ное число, по­это­му для снова ровно одна воз­мож­ность. Так вся­кий раз будут по­лу­чать­ся не­чет­ные числа, по­сколь­ку сумма не­чет­но­го и чет­но­го чисел яв­ля­ет­ся не­чет­ным чис­лом. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­ча­ем:

в)  За­ме­тим, что це­поч­ка удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям. До­ка­жем, что наи­боль­ший член по­сле­до­ва­тель­но­сти не может быть мень­ше 112.

Пусть a  — наи­боль­ший член по­сле­до­ва­тель­но­сти (на­чи­ная с мо­мен­та, когда впер­вые про­изо­шло умно­же­ние на 2; за­ме­тим, что в нашем слу­чае 98 не может вы­чи­тать­ся два­жды под­ряд). Тогда преды­ду­щее число  — это Сле­до­ва­тель­но, a  — чет­ное.

Ясно, что зна­че­ние 98 и мень­ше a быть не может, так как это бы озна­ча­ло, что в нашей це­поч­ке, на­чи­ная с пер­во­го умно­же­ния на 2, ни разу не вы­чи­та­лось 98. Сле­до­ва­тель­но, с этого мо­мен­та были толь­ко умно­же­ния на 2. Но тогда, оче­вид­но, на­шел­ся бы член по­сле­до­ва­тель­но­сти, ко­то­рый боль­ше 112. По­это­му до­ста­точ­но рас­смот­реть слу­чаи, когда a равно 110, 108, 106, 104, 102, 100.

Пе­ре­бе­рем эти зна­че­ния. Рас­смот­рим мо­мент, когда a по­явил­ся впер­вые (оче­вид­но, номер этого члена по­сле­до­ва­тель­но­сти за­ве­до­мо не пре­взой­дет, на­при­мер, 10). В слу­чае зна­че­ний a, рав­ных 100, 102, 106, после вы­чи­та­ния 98 (на сле­ду­ю­щем шаге), мы по­па­дем в эле­мент це­поч­ки

и най­дет­ся член, ко­то­рый пре­взой­дет 112 (и будет равен по край­ней мере 128).

Зна­че­ния a, рав­ные 104 и 110, при­ве­дут нас в эле­мент це­поч­ки

Зна­че­ние при­ве­дет нас к це­поч­ке

и вновь най­дет­ся член, ко­то­рый пре­взой­дет 112 (и будет равен по край­ней мере 160).

Ответ: а)  да; б)  9777; в)  112.

При­ме­ча­ние.

Как можно было до­га­дать­ся, что в пунк­те в) це­поч­ку надо на­чи­нать с 7 (или 14)? Кста­ти, эта це­поч­ка под­хо­дит и для пунк­та а). Дело в том, что в ре­зуль­та­те наших опе­ра­ций об­ра­зу­ют­ся числа вида где m − не­чет­ное число. Это число долж­но быть боль­ше 98, но не силь­но. Можно пе­ре­брать ма­лень­кие зна­че­ния k и по­до­брать m как раз с этим усло­ви­ем ( боль­ше 98, но не силь­но). Так мы до­воль­но быст­ро по­лу­ча­ем число ко­то­рое хо­ро­шо тем, что при вы­чи­та­нии 98 дает 14. Это хо­ро­шее число, по­то­му что и после не­сколь­ких умно­же­ний на 2 мы вновь по­па­дем в 112. (На­при­мер, 6 − это да­ле­ко не такое хо­ро­шее число, хоть оно и мень­ше 14, т. к. после серии умно­же­ний 6 на 2, наи­мень­шее число, ко­то­рое будет боль­ше 98, это 192.)

Можно было также ду­мать: Сле­до­ва­тель­но, если на­чать с 14, то через три опе­ра­ции мы по­лу­чим И при вы­чи­та­нии 98 мы по­лу­чим т. е. снова 14, а это для нас очень хо­ро­шо!