РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 81 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а)  Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?

б)  Средний балл в школе № 1 вырос на 20%, средний балл в школе № 2 также вырос на 20%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 1?

в)  Средний балл в школе № 1 вырос на 20%, средний балл в школе № 2 также вырос на 20%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Решение. а)  Пусть в школе № 1 писали тест n учащихся, а средний балл был равен А. Тогда суммарный балл всех учащихся этой школы равнялся nA. После перехода учащегося в школу № 2 средний балл вырос в два раза, то есть стал равен 2A, а количество учащихся стало $n минус 1.$ Тогда суммарный балл после перехода учащегося стал равен $2 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка A.$ Таким образом, суммарный балл уменьшился на $nA минус 2 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка A = левая круглая скобка 2 минус n правая круглая скобка A,$ что невозможно, поскольку перешедший учащийся набрал положительное количество баллов, а $n\geqslant2.$

б)  Пусть в школе № 2 средний балл равнялся В, а перешедший в нее учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

$u=nA минус 1,2 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка A=1,2 левая круглая скобка 82 минус n правая круглая скобка B минус левая круглая скобка 81 минус n правая круглая скобка B,$

или

$5u= левая круглая скобка 6 минус n правая круглая скобка A= левая круглая скобка 87 минус n правая круглая скобка B.$

Если $B=1,$ то $n=2,$ поскольку число $левая круглая скобка 87 минус n правая круглая скобка B$ должно делиться на 5, а $левая круглая скобка 6 минус n правая круглая скобка A$ не должно быть отрицательным. Получаем $4A=85,$ что невозможно, поскольку A целое.

в)  Заметим, что если $B=2$ или $B=3,$ то $n=2.$ В первом слкучае $4A=170,$ а во втором $4A=255.$ Значит, ни один из этих случае не возможен.

При $B=4$ получаем $n=2,$ откуда $u=68,$ $A=85.$ Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 2 учащихся и набрали 102 и 68 баллов, а в школе № 2 писали тест 79 учащихся и каждый набрал по 4 балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 68 баллов.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	520858	а) нет; б) нет; в) 4.

Ключ