ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 517577 Добавить в вариант

В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

  — в январе каждого года долг увеличивается на r%;

  — с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.

Кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по 777 600 рублей, или за два года равными платежами по 1 317 600 рублей.

Найдите r.

Спрятать решение

Решение.

Пусть сумма кредита S , ежегодные выплаты x, $k=1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби .$ По условию долг на июль меняется так:

$S,kS минус x,k в квадрате S минус kx минус x,k в кубе S минус k в квадрате x минус kx минус x,k в степени 4 S минус k в кубе x минус k в квадрате x минус kx минус x.$

Если долг выплачен двумя равными платежами x₂, то

$k в квадрате S минус kx_2 минус x_2=0 равносильно Sk в квадрате =kx_2 плюс x_2.$

Если долг выплачен четырьмя равными платежами x₄, то

$k в степени 4 S минус k в кубе x_4 минус k в квадрате x_4 минус kx_4 минус x_4 = 0.$

Подставим в это уравнение выражение для $Sk в квадрате ,$ получаем:

$k в квадрате левая круглая скобка kx_2 плюс x_2 правая круглая скобка минус k в кубе x_4 минус k в квадрате x_4 минус kx_4 минус x_4 = 0 равносильно k в кубе x_2 плюс k в квадрате x_2 минус k в кубе x_4 минус k в квадрате x_4 минус kx_4 минус x_4 = 0 равносильно$ $k в квадрате левая круглая скобка kx_2 плюс x_2 правая круглая скобка минус k в кубе x_4 минус k в квадрате x_4 минус kx_4 минус x_4 = 0 равносильно$
$равносильно k в кубе x_2 плюс k в квадрате x_2 минус k в кубе x_4 минус k в квадрате x_4 минус kx_4 минус x_4 = 0 равносильно$

$равносильно k в кубе левая круглая скобка x_2 минус x_4 правая круглая скобка плюс k в квадрате левая круглая скобка x_2 минус x_4 правая круглая скобка минус x_4 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно k в квадрате левая круглая скобка x_2 минус x_4 правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка минус x_4 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$ $равносильно k в кубе левая круглая скобка x_2 минус x_4 правая круглая скобка плюс k в квадрате левая круглая скобка x_2 минус x_4 правая круглая скобка минус x_4 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно k в квадрате левая круглая скобка x_2 минус x_4 правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка минус x_4 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k в квадрате левая круглая скобка x_2 минус x_4 правая круглая скобка минус x_4 правая круглая скобка =0 равносильно k в квадрате левая круглая скобка x_2 минус x_4 правая круглая скобка минус x_4=0.$

Откуда получаем для k:

$k в квадрате = дробь: числитель: x_4, знаменатель: x_2 минус x_4 конец дроби$

По условию $x_4=777 600,$ а $x_2=1 317 600,$ тогда:

$k в квадрате = дробь: числитель: 777 600, знаменатель: 1 317 600 минус 777 600 конец дроби =1,44,$

Откуда получаем $k=1,2,$ а, следовательно, $r=20.$

Ответ: 20.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 519363: 517442 517449 517456 ... Все

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь