Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519907

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 12.

Решение.

а) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.

Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.

б) Отпустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

OH= корень из { OB в степени 2 минус BH в степени 2 }= корень из { 100 минус 36}=8.

Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда

OF = OH минус FH = OH минус QP = 8 минус 5 = 3;

PH в степени 2 = QF в степени 2 = QO в степени 2 минус OF в степени 2 = 25 минус 9 = 16;

OP в степени 2 = OH в степени 2 плюс PH в степени 2 = 64 плюс 16 =80,

а из прямоугольного треугольника APO находим, что

AP= корень из { OA в степени 2 минус OP в степени 2 }= корень из { 100 минус 80}=2 корень из { 5}.

Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средняя AP. Следовательно,

AL= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AP= корень из { 5}.

 

Ответ: б)  корень из { 5}.


Аналоги к заданию № 510102: 519907 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей