СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508612

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

Решение.

а) Известно, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к его основанию, является осью его симметрии.

Рассмотрим и У них: — общий, AB = CB, как половины равных углов при основании равнобедренного треугольника. Значит, по второму признаку равенства треугольников. Отсюда: AK = CP.

При симметрии относительно прямой BM точки K и P переходят друг в друга, точка M — сама в себя. Следовательно, отрезки MP и MK перейдут друг на друга. Значит, MP = MK.

б) Из рассмотренной симметрии также следует: BH — ось симметрии MH — ось симметрии (H — точка пересечения BM и PK).

Пусть AB = BC = a,

В прямоугольном треугольнике ABM:

Это — с одной стороны. С другой же стороны,

Следовательно,

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: Если , то

как два прямоугольных треугольника с общим острым углом.

Коэффициент подобия

 

 

Так как то:

 

 

Ответ: б) 15.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники