СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508603

CA и СВ — касательные к окружности в точках А и В соответственно, АD — её диаметр. Прямые ВD и АС пересекаются в точке E.

А) Докажите, что точка С – середина отрезка АЕ.

Б) Найдите сумму радиусов окружностей, вписанных в  треугольники ABEABD и AED, если известно, что ВA = 12.

Решение.

а) Обозначим Тогда (поскольку так как опирается на диаметр окружности). Далее

Итак, треугольники ACB и ECB равнобедренные, поэтому значит, C — середина AE.

б) Известно, что если a, b — катеты прямоугольного треугольника, c — его гипотенуза, то радиус вписанной в него окружности равен

Поскольку все упомянутые в условии треугольники прямоугольные, то искомая сумма радиусов равна

 

Ответ: 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102.
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности