Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508603

CA и СВ — касательные к окружности в точках А и В соответственно, АD — её диаметр. Прямые ВD и АС пересекаются в точке E.

А) Докажите, что точка С – середина отрезка АЕ.

Б) Найдите сумму радиусов окружностей, вписанных в  треугольники ABEABD и AED, если известно, что ВA = 12.

Решение.

а) Обозначим \angle CAB=\angle CBA=\alpha. Тогда \angle CBE=\angle ABE минус \alpha=90 в степени circ минус \alpha (поскольку BD\perp AB, так как \angle ABD опирается на диаметр окружности). Далее

\angle BCE=\angle CAB плюс \angle CBA=2\alpha и \angle CEB=180 в степени circ минус 2\alpha минус (90 в степени circ минус \alpha)=90 в степени circ минус \alpha.

Итак, треугольники ACB и ECB равнобедренные, поэтому AC=CB=CE, значит, C — середина AE.

б) Известно, что если a, b — катеты прямоугольного треугольника, c — его гипотенуза, то радиус вписанной в него окружности равен  дробь, числитель — a плюс b минус c, знаменатель — 2 .

Поскольку все упомянутые в условии треугольники прямоугольные, то искомая сумма радиусов равна

 дробь, числитель — AB плюс BE минус AE, знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — AB плюс BD минус AD, знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — AD плюс AE минус DE, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 2AB плюс BE плюс BD минус DE, знаменатель — 2 =AB=12.

 

Ответ: 12.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 102.
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности