СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 508599

А) Можно ли клетчатую доску размером 12×12 полностью накрыть плитками, указанными на рисунке?

Б) Можно ли клетчатую доску размером 10×10 полностью накрыть плитками, указанными на рисунке?

В) Можно ли клетчатую доску размером 10×10 полностью накрыть плитками, указанными на рисунке?

(Плитки не должны накладываться друг на друга и выходить за край доски)

Решение.

а) Да. Для этого достаточно показать, что квадрат 4 на 4 покрывается фигурками заданной

формы (это ясно). Доска же 12 на 12, в свою очередь, разбивается на квадраты 4 на 4.

 

б) Нет. Напишем в каждой клетке число 0 или 1 как изображено на рисунке 1. Сумма цифр на доске

равна 48. Каждая фигурка заданной формы содержит две единицы и два ноля. Соответственно

сумма цифр внутри каждой фигурки равна 2. Фигурок на доске должно быть ,

таким образом, сумма всех цифр на доске должна получиться 50. А на самом деле она

равняется 48. Противоречие.

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

Рис. 1

 

 

в) Нет. Напишем в каждой клетке число 0 или 1 в шахматном порядке, как изображено на рисунке 2.

Сумма цифр на доске равна 50. Каждая фигурка заданной формы может содержать одну или

три единицы. Соответственно сумма цифр внутри каждой фигурки нечетная. Фигурок на

доске должно быть , таким образом, сумма всех цифр на доске будет нечетной. А

она должна равняться 50. Противоречие.

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Рис. 2

 

 

Ответ: а) да; б) нет; в) нет.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 101.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства