Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 284125

Найдите наименьшее значение функции y=(x минус 8) в степени 2 (x минус 1) плюс 10 на отрезке  левая квадратная скобка 6;14 правая квадратная скобка .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

{y}'=({{(x минус 8)} в степени 2 }{)}'(x минус 1) плюс {{(x минус 8)} в степени 2 }(x минус 1{)}' плюс (10{)}'=

=2(x минус 8)(x минус 1) плюс {{(x минус 8)} в степени 2 }=(x минус 8) умножить на (2(x минус 1) плюс (x минус 8))=(x минус 8)(3x минус 10). \end{align}

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

 система выражений  новая строка (x минус 8)(3x минус 10)=0,  новая строка 6 меньше или равно x меньше или равно 14 конец системы . равносильно система выражений  новая строка совокупность выражений x=8, x=3 дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 , конец системы .  новая строка 6 меньше или равно x меньше или равно 14 конец совокупности . равносильно x=8.

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

 

В точке x=8 заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

 

y(8)={{(8 минус 8)} в степени 2 }(8 минус 1) плюс 10=10.

 

 

Ответ: 10.

Классификатор базовой части: 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке