Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 516297

Найдите наибольшее значение функции y=(x минус 2) в степени 2 (x минус 4) плюс 5 на отрезке [1;3].

Спрятать решение

Решение.

Найдем производную заданной функции:

y'=((x минус 2) в степени 2 )'(x минус 4) плюс (x минус 2) в степени 2 (x минус 4)' плюс (5)'=

 

 =2(x минус 2)(x минус 4) плюс {{(x минус 2)} в степени 2 }=(x минус 2)(3x минус 10).

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 система выражений  новая строка (x минус 2)(3x минус 10)=0,  новая строка 1 меньше или равно x меньше или равно 3 конец системы . равносильно система выражений  новая строка совокупность выражений x=2, x= дробь, числитель — 10, знаменатель — 3 , конец системы .  новая строка 1 меньше или равно x меньше или равно 3 конец совокупности . равносильно x=2.

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке x=2 заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

y(2)={{(2 минус 2)} в степени 2 }(2 минус 4) плюс 5=5.

 

Ответ: 5.

Классификатор базовой части: 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке