Сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют 10 раз. Во сколь­ко раз ве­ро­ят­ность со­бы­тия «вы­па­дет ровно 5 орлов» боль­ше ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия «вы­па­дет ровно 4 орла»?

В одном ре­сто­ра­не в г. Там­бо­ве ад­ми­ни­стра­тор пред­ла­га­ет го­стям сыг­рать в «Шеш-⁠беш»: гость бро­са­ет од­но­вре­мен­но две иг­раль­ные кости. Если он вы­бро­сит ком­би­на­цию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух по­пы­ток, то по­лу­чит ком­пле­мент от ре­сто­ра­на: чашку кофе или де­серт бес­плат­но. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность по­лу­чить ком­пле­мент? Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Иг­раль­ный кубик бро­са­ли до тех пор, пока сумма всех вы­пав­ших очков не пре­вы­си­ла число 3. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что для этого по­тре­бо­ва­лось ровно два брос­ка? Ответ округ­ли­те до ты­сяч­ных.

Те­ле­фон пе­ре­даёт SMS-⁠со­об­ще­ние. В слу­чае не­уда­чи те­ле­фон де­ла­ет сле­ду­ю­щую по­пыт­ку. Ве­ро­ят­ность того, что со­об­ще­ние удаст­ся пе­ре­дать без оши­бок в каж­дой от­дель­ной по­пыт­ке, равна 0,4. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что для пе­ре­да­чи со­об­ще­ния по­тре­бу­ет­ся не боль­ше двух по­пы­ток.

При по­до­зре­нии на на­ли­чие не­ко­то­ро­го за­бо­ле­ва­ния па­ци­ен­та от­прав­ля­ют на ПЦР-⁠тест. Если за­бо­ле­ва­ние дей­стви­тель­но есть, то тест под­твер­жда­ет его в 86% слу­ча­ев. Если за­бо­ле­ва­ния нет, то тест вы­яв­ля­ет от­сут­ствие за­бо­ле­ва­ния в сред­нем в 94% слу­ча­ев. Из­вест­но, что в сред­нем тест ока­зы­ва­ет­ся по­ло­жи­тель­ным у 10% па­ци­ен­тов, на­прав­лен­ных на те­сти­ро­ва­ние.

При об­сле­до­ва­нии не­ко­то­ро­го па­ци­ен­та врач на­пра­вил его на ПЦР-⁠тест, ко­то­рый ока­зал­ся по­ло­жи­тель­ным. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что па­ци­ент дей­стви­тель­но имеет это за­бо­ле­ва­ние?

Стре­лок в тире стре­ля­ет по ми­ше­ни до тех пор, пока не по­ра­зит её. Из­вест­но, что он по­па­да­ет в цель с ве­ро­ят­но­стью 0,2 при каж­дом от­дель­ном вы­стре­ле. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство па­тро­нов нужно дать стрел­ку, чтобы он по­ра­зил цель с ве­ро­ят­но­стью не менее 0,6?

В ящике че­ты­ре крас­ных и два синих фло­ма­сте­ра. Фло­ма­сте­ры вы­тас­ки­ва­ют по оче­ре­ди в слу­чай­ном по­ряд­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что пер­вый раз синий фло­ма­стер по­явит­ся тре­тьим по счету?

Стре­лок стре­ля­ет по пяти оди­на­ко­вым ми­ше­ням. На каж­дую ми­шень даётся не более двух вы­стре­лов, и из­вест­но, что ве­ро­ят­ность по­ра­зить ми­шень каж­дым от­дель­ным вы­стре­лом равна 0,6. Во сколь­ко раз ве­ро­ят­ность со­бы­тия «стре­лок по­ра­зит ровно пять ми­ше­ней» боль­ше ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия «стре­лок по­ра­зит ровно че­ты­ре ми­ше­ни»?

В вик­то­ри­не участ­ву­ют 6 ко­манд. Все ко­ман­ды раз­ной силы, и в каж­дой встре­че вы­иг­ры­ва­ет та ко­ман­да, ко­то­рая силь­нее. В пер­вом ра­ун­де встре­ча­ют­ся две слу­чай­но вы­бран­ные ко­ман­ды. Ничья не­воз­мож­на. Про­иг­рав­шая ко­ман­да вы­бы­ва­ет из вик­то­ри­ны, а по­бе­див­шая ко­ман­да иг­ра­ет со сле­ду­ю­щим слу­чай­но вы­бран­ным со­пер­ни­ком. Из­вест­но, что в пер­вых трёх играх по­бе­ди­ла ко­ман­да А. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что эта ко­ман­да вы­иг­ра­ет четвёртый раунд?

Тур­нир по на­столь­но­му тен­ни­су про­во­дит­ся по олим­пий­ской си­сте­ме: иг­ро­ки слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют­ся на иг­ро­вые пары; про­иг­рав­ший в каж­дой паре вы­бы­ва­ет из тур­ни­ра, а по­бе­ди­тель вы­хо­дит в сле­ду­ю­щий тур, где встре­ча­ет­ся со сле­ду­ю­щим про­тив­ни­ком, ко­то­рый опре­делён жре­би­ем. Всего в тур­ни­ре участ­ву­ет 16 иг­ро­ков, все они иг­ра­ют оди­на­ко­во хо­ро­шо, по­это­му в каж­дой встре­че ве­ро­ят­ность вы­иг­ры­ша и по­ра­же­ния у каж­до­го иг­ро­ка равна 0,5. Среди иг­ро­ков два друга  — Иван и Алек­сей. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что этим двоим в каком-⁠то туре придётся сыг­рать друг с дру­гом?

Пер­вый член по­сле­до­ва­тель­но­сти целых чисел равен 0. Каж­дый сле­ду­ю­щий член по­сле­до­ва­тель­но­сти с ве­ро­ят­но­стью p  =  0,8 на еди­ни­цу боль­ше преды­ду­ще­го и с ве­ро­ят­но­стью 1 − p на еди­ни­цу мень­ше преды­ду­ще­го. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что какой-⁠то член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти ока­жет­ся равен −1?

При вы­печ­ке хлеба про­из­во­дит­ся кон­троль­ное взве­ши­ва­ние све­жей бу­хан­ки. Из­вест­но, что ве­ро­ят­ность того, что масса ока­жет­ся мень­ше, чем 810 г, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что масса ока­жет­ся боль­ше, чем 790 г, равна 0,91. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что масса бу­хан­ки боль­ше, чем 790 г, но мень­ше, чем 810 г.

В ко­роб­ке 7 крас­ных и 3 синих шара. Слу­чай­ным об­ра­зом из ко­роб­ки из­вле­ка­ют 5 шаров. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность со­бы­тия «среди из­вле­чен­ных не более 3 крас­ных шаров»?

Стре­лок стре­ля­ет в тире по вось­ми оди­на­ко­вым ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­пасть в каж­дую ми­шень при каж­дом вы­стре­ле одна и та же. Чтобы сбить все во­семь ми­ше­ней, стрел­ку по­тре­бо­ва­лось 11 вы­стре­лов. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что пер­вы­ми пятью вы­стре­ла­ми стре­лок сбил хотя бы че­ты­ре ми­ше­ни?

Чтобы за­бро­сить шесть мячей в кор­зи­ну на тре­ни­ров­ке, бас­кет­бо­ли­сту по­тре­бо­ва­лось 10 брос­ков. Счи­тая, что ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в кор­зи­ну при каж­дом брос­ке одна и та же, най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что при пер­вых четырёх брос­ках бас­кет­бо­лист попал в кор­зи­ну не более од­но­го раза. Peзуль­тат округ­ли­те до ты­сяч­ных.