Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Бер­нул­ли. Най­дем ве­ро­ят­ность со­бы­тия А, со­сто­я­ще­го в том, что при де­ся­ти бро­са­ни­ях вы­па­дет ровно 5 орлов:

Ана­ло­гич­но най­дем ве­ро­ят­ность со­бы­тия B, со­сто­я­ще­го в том, что при де­ся­ти бро­са­ни­ях вы­па­дет ровно 4 орла:

Тогда

Ответ: 1,2

При­ве­дем ре­ше­ние Ирины Шраго.

Ве­ро­ят­ность того, что вы­па­дет ровно 5 орлов, равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства ва­ри­ан­тов, при ко­то­рых вы­па­да­ет ровно 5 орлов, к об­ще­му ко­ли­че­ству ва­ри­ан­тов: Ве­ро­ят­ность того, что вы­па­дет ровно 4 орла, равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства ва­ри­ан­тов, при ко­то­рых вы­па­да­ет ровно 4 орла, к об­ще­му ко­ли­че­ству ва­ри­ан­тов: Тогда от­но­ше­ние этих ве­ро­ят­но­стей

Ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов, при ко­то­рых вы­па­дет ровно 5 орлов, равно

Ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов, при ко­то­рых вы­па­дет ровно 4 орла, равно

Тогда

Сна­ча­ла найдём ве­ро­ят­ность того, что при двух брос­ках иг­раль­ных ко­стей ком­би­на­ция 5 и 6 очков не вы­па­дет ни разу. За­ме­тим, что ве­ро­ят­ность вы­бро­сить ком­би­на­цию 5 и 6 очков скла­ды­ва­ет­ся из двух не­сов­мест­ных со­бы­тий: на пер­вом ку­би­ке вы­па­ло 5 очков, а на вто­ром ку­би­ке вы­па­ло 6 очков или на пер­вом ку­би­ке вы­па­ло 6 очков, а на вто­ром ку­би­ке вы­па­ло 5 очков. Тогда ве­ро­ят­ность того, что при брос­ке двух иг­раль­ных ко­стей вы­па­дет ком­би­на­ция 5 и 6 очков, равна

Ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что при одном брос­ке ко­стей ком­би­на­ция 5 и 6 очков не вы­па­дет, равна

Каж­дое бро­са­ние ко­стей не за­ви­сит от преды­ду­ще­го. Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что при двух брос­ках иг­раль­ных ко­стей ком­би­на­ция 5 и 6 очков не вы­па­дет ни разу, равна  Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что при двух бро­са­ни­ях иг­раль­ных ко­стей ком­би­на­ция 5 и 6 очков вы­па­дет хотя бы один раз, равна

Округ­ляя до сотых, по­лу­чим 0,11.

Ответ: 0,11.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть со­бы­тие A со­сто­ит в том, что при пер­вом бро­са­нии вы­па­ла ком­би­на­ция 5 и 6 очков, а со­бы­тие B со­сто­ит в том, что при вто­ром бро­са­нии вы­па­ла ком­би­на­ция 5 и 6 очков: Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ком­би­на­ция 5 и 6 очков вы­па­дет хотя бы один раз из двух по­пы­ток, яв­ля­ет­ся сум­мой этих со­бы­тий. Со­бы­тия A и B яв­ля­ют­ся сов­мест­ны­ми и не­за­ви­си­мы­ми, ве­ро­ят­ность их суммы вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

Округ­ляя до сотых, по­лу­чим 0,11.

При­ве­дем ре­ше­ние На­деж­ды Коз­ло­вой.

Пусть со­бы­тие A со­сто­ит в том, что при пер­вом бро­са­нии вы­па­ла ком­би­на­ция 5 и 6 очков, а со­бы­тие C со­сто­ит в том, что при пер­вом бро­са­нии ком­би­на­ция 5 и 6 очков не вы­па­ла, а при вто­ром бро­са­нии вы­па­ла. Тогда

Эти со­бы­тия яв­ля­ют­ся не­сов­мест­ны­ми, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме их ве­ро­ят­но­стей:

Округ­ляя до сотых, по­лу­чим 0,11.

При­ме­ча­ние.

На­пом­ним чи­та­те­лям, что ком­пли­мент  — это при­ят­ные слова в чей-то адрес, а ком­пле­мент это  — до­пол­не­ние, до­бав­ле­ние к чему-либо. По усло­вию за­да­чи при удач­ном ис­хо­де игры по­се­ти­тель ре­сто­ра­на по­лу­ча­ет бес­плат­ное до­пол­не­ние к сво­е­му за­ка­зу  — ком­пле­мент от ре­сто­ра­на.

По­лу­чить в сумме боль­ше 3 очков при двух бро­са­ни­ях можно в сле­ду­ю­щих слу­ча­ях:

где пер­вая цифра  — число очков, вы­пав­ших пер­вый раз, вто­рая цифра  — число очков, вы­пав­ших вто­рой раз. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из этих 15 ва­ри­ан­тов равна а ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна то есть Раз­де­лив в стол­бик, по­лу­ча­ем округ­ляя до ты­сяч­ных, по­лу­ча­ем 0,417.

Ответ: 0,417.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим с по­мо­щью де­ре­ва воз­мож­ные ис­хо­ды. Зелёным цве­том от­ме­че­ны ис­хо­ды, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию «Сумма очков пре­вы­си­ла число 3 ровно за два брос­ка». Крас­ным цве­том от­ме­че­ны ис­хо­ды, не­удо­вле­тво­ря­ю­щие этому.

Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Округ­ляя до ты­сяч­ных, по­лу­ча­ем 0,417.

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Со­ста­вим таб­ли­цу ис­хо­дов после двух брос­ков. Общее число ис­хо­дов равно 36. Зелёным цве­том от­ме­че­ны ис­хо­ды удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию «сумма очков пре­вы­си­ла число 3 ровно за два брос­ка». Число бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов равно 15. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Округ­ляя до ты­сяч­ных, по­лу­ча­ем 0,417.

При­ме­ча­ние.

Фраза «иг­раль­ный кубик бро­са­ли до тех пор, пока сумма всех вы­пав­ших очков не пре­вы­си­ла число 3» озна­ча­ет, что иг­раль­ную кость про­дол­жа­ли бро­сать, пока сумма всех вы­пав­ших очков была мень­ше или равна трем, и пре­кра­ти­ли бро­сать, когда эта сумма пре­вы­си­ла 3. Если было сде­ла­но два брос­ка, то на вто­ром брос­ке сумма долж­на была пре­вы­сить 3.

Ве­ро­ят­ность того, что для пе­ре­да­чи со­об­ще­ния по­тре­бу­ет­ся не боль­ше двух по­пы­ток, равна сумме ве­ро­ят­но­стей того, что со­об­ще­ние будет пе­ре­да­но с пер­вой по­пыт­ки, и того, что со­об­ще­ние будет пе­ре­да­но со вто­рой по­пыт­ки. Ве­ро­ят­ность не­удач­ной от­прав­ки равна 1 − 0,4  =  0,6. Тогда ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,64.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что со­об­ще­ние не будет от­прав­ле­но за две по­пыт­ки, равна Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия равна

Пусть со­бы­тие A  — па­ци­ент болен, со­бы­тие B  — тест вы­яв­ля­ет на­ли­чие за­бо­ле­ва­ния. Тогда P(A)  =  x  — ве­ро­ят­ность того, что па­ци­ент болен. Если за­бо­ле­ва­ние дей­стви­тель­но есть, то тест под­твер­жда­ет его в 86% слу­ча­ев, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что па­ци­ент болен и тест под­твер­жда­ет это, равна P(AB)  =  x · 0,86. Если за­бо­ле­ва­ния нет, то тест вы­яв­ля­ет от­сут­ствие за­бо­ле­ва­ния в 94% слу­ча­ев, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что па­ци­ент не болен, а тест дал по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат, равна (1 − x) · (1 − 0,94). Тогда ве­ро­ят­ность того, что тест ока­жет­ся по­ло­жи­тель­ным, равна От­сю­да вы­ра­зим x:

Тогда ве­ро­ят­ность того, что че­ло­век, у ко­то­ро­го тест ока­зал­ся по­ло­жи­тель­ным, дей­стви­тель­но имеет за­бо­ле­ва­ние, равна

Ответ: 0,43.

При­ве­дем ре­ше­ние Ви­та­лия Вя­ли­ко­ва.

Пусть x  — число боль­ных па­ци­ен­тов и y  — число здо­ро­вых. Тогда всего име­ет­ся x + y па­ци­ен­тов. Общее число по­ло­жи­тель­ных ПЦР-⁠те­стов по усло­вию равно 0,1(x + y), из ко­то­рых 0,86x те­стов при­хо­дит­ся на боль­ных па­ци­ен­тов и 0,06y те­стов  — на здо­ро­вых. Тогда

По­это­му ве­ро­ят­ность того, что по­ло­жи­тель­ный ПЦР-⁠тест был взят у боль­но­го па­ци­ен­та, равна