Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет два решения.
Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что параметр a неотрицателен, так как иначе сумма модулей была бы отрицательным числом, чего быть не может. При 
получаем 
что противоречит второму уравнению системы. При 
уравнение 
задает на координатной плоскости квадрат с вершинами на координатных осях и диагоналями, равными 2a. График второго уравнения получается из графика функции 
сдвигом на четыре единицы влево вдоль оси абсцисс.
Из построенного рисунка видно, что при 
система имеет ровно одно решение, а при 
— 
имеет единственное решение. Имеем:
Уравнение 
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение 
:
Уравнение 
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение 
:
Учитывая, что 
получаем, что графики уравнений 
и 
касаются при 
При найденном значении а абсциссой точки касания является 
эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при 
и 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет два решения.
Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что параметр a неотрицателен, так как иначе сумма модулей была бы отрицательным числом, чего быть не может. При a = 0 получаем x = y = 0, что противоречит второму уравнению системы. Уравнение 
при имеет вид квадрата с вершинами на координатных осях и диагоналями, равными 2a. График второго уравнения получается из графика функции сдвигом на девять единиц влево вдоль оси абсцисс.
При a = 3 система имеет ровно одно решение, а при a = 9 — 3 решения. Найдем, при каком значении параметра график корня касается стороны квадрата. Для этого определим, при каких параметрах a уравнение 
имеет единственное решение. Имеем:
Уравнение 
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение D = 0:
Уравнение 
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение D = 0:
Учитывая, что получаем, что графики уравнений 
и 
касаются при a = 9,25. При найденном значении а абсциссой точки касания является 
эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при 
и a = 9,25.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Уравнение задаёт для каждого положительного значения параметра a на плоскости Oxy квадрат ABCD с вершинами в точках 
и 
Уравнение 
задаёт на плоскости Oxy ветвь параболы, заданной уравнением 
соответствующую условию 
Рассмотрим расположение квадрата ABCD и ветви параболы.
При 
вершина квадрата 
принадлежит ветви параболы, при этом система имеет единственное решение 
При 
вершина квадрата 
принадлежит ветви параболы, при этом система имеет три решения.
Найдём такое значение параметра a, что парабола 
касается стороны AD. Эта сторона лежит на прямой 
Касание будет иметь место при условии единственности корня уравнения 
Перепишем его в виде 
Вычислим дискриминант:
Он равен нулю при 
При этом значении параметра уравнение имеет единственный корень 
Это означает, что при 
прямая 
касается параболы в точке 
Эта точка принадлежит одновременно ветви параболы и отрезку AD.
Таким образом, найдено три граничных значения параметра: при система уравнений имеет одно решение, при — —
и при
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Уравнение задаёт для каждого положительного значения параметра a на плоскости Oxy квадрат ABCD с вершинами в точках и
Уравнение 
задаёт на плоскости Oxy ветвь параболы, заданной уравнением 
соответствующую условию 
Рассмотрим расположение квадрата ABCD и ветви параболы.
При 
вершина квадрата 
принадлежит ветви параболы, при этом система имеет единственное решение 
При 
вершина квадрата 
принадлежит ветви параболы, при этом система имеет три решения.
Найдём такое значение параметра a, что парабола 
касается стороны CD. Эта сторона лежит на прямой 
Касание будет иметь место при условии единственности корня уравнения 
Перепишем его в виде 
Вычислим дискриминант:
Он равен нулю при 
При этом значении параметра уравнение имеет единственный корень 
Это означает, что при 
прямая 
касается параболы в точке 
Эта точка принадлежит одновременно ветви параболы и отрезку CD.
Таким образом, найдено три граничных значения параметра: при система уравнений имеет одно решение, при — —
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх