а)  Че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — квад­рат, по­это­му пря­мые KL и NM па­рал­лель­ны. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая KL па­рал­лель­на плос­ко­сти BCD, а зна­чит, пря­мые KL и CD, ле­жа­щие в плос­ко­сти ACD, не имеют общих точек. Зна­чит, они па­рал­лель­ны. Таким об­ра­зом, все три пря­мые KL, MN и CD па­рал­лель­ны, а по­то­му тре­уголь­ни­ки KAL и CAD по­доб­ны. Ана­ло­гич­но пря­мые KN, LM и AB па­рал­лель­ны, и тре­уголь­ни­ки KCN и ACB по­доб­ны. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков KAL и CAD по­лу­ча­ем:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков KCN и ACB по­лу­ча­ем

От­рез­ки KN и KL равны как сто­ро­ны квад­ра­та. Тогда от­ку­да

б)  За­ме­тим, что, где от­ре­зок KH₁  — вы­со­та тет­ра­эд­ра CKMN, а от­ре­зок AH  — вы­со­та тет­ра­эд­ра ABCD. Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка CMN через пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCD:

Тогда

Ответ: б) 29,4.

a)  Плос­кость BCD па­рал­лель­на пря­мой KL, по­сколь­ку со­дер­жит па­рал­лель­ную ей пря­мую MN (см. рис. верх­ний). Сле­до­ва­тель­но, пря­мые KLи па­рал­лель­ны. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки AKL и ACD по­доб­ны, от­ку­да по­лу­ча­ем:

Ана­ло­гич­но пря­мые KN и AB па­рал­лель­ны. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки KNC и ABC по­доб­ны, от­ку­да по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку KN  =  KL, по­лу­ча­ем:

б)  Пусть h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды ABCD, про­ведённая из вер­ши­ны A. Тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды KBCD, про­ведённая из вер­ши­ны K, равна по­сколь­ку

Сле­до­ва­тель­но, объём пи­ра­ми­ды KBCD равен 15.

Пи­ра­ми­ды KBCD и CKMN имеют общую вы­со­ту, про­ведённую из вер­ши­ны K. Срав­ним пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков CNM и BCD (см. рис. ниж­ний). Вы­со­ты этих тре­уголь­ни­ков, про­ведённые из вер­шин C и B со­от­вет­ствен­но, от­но­сят­ся как

а их сто­ро­ны NM и CD от­но­сят­ся как

по­сколь­ку тре­уголь­ни­ки BNM и BCD по­доб­ны. Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков CNM и BCD равно Зна­чит, объём пи­ра­ми­ды CKMN равен

Ответ: 6)  3,6.