a)  Да, могло. Вы­пол­ним сле­ду­ю­щую по­сле­до­ва­тель­ность шагов: 65 → 32 → 17 → 41:

б)  Нет, не могло. При при­бав­ле­нии к числу или вы­чи­та­нии из числа утро­ен­ной суммы его цифр оста­ток от де­ле­ния на 3 не из­ме­ня­ет­ся. При де­ле­нии на 3 числа 65 и 43 дают остат­ки 2 и 1 со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, при вы­пол­не­нии ука­зан­ных дей­ствий из числа 65 не могло по­лу­чить­ся число 43.

в)  Наи­мень­шим дву­знач­ным чис­лом, ко­то­рое дает такой же оста­ток при де­ле­нии на 3, что и число 65, яв­ля­ет­ся число 11. По­ка­жем, как можно по­лу­чить 11 из числа 65:

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  11.

а)  Три раза вы­пол­ним опе­ра­цию вы­чи­та­ния утро­ен­ной суммы цифр:

б)  Утро­ен­ная сумма цифр числа де­лит­ся на 3, по­это­му ука­зан­ные опе­ра­ции не из­ме­ня­ют оста­ток числа при де­ле­нии на 3. Число 128 при де­ле­нии на 3 дает оста­ток 2, а число 31  — оста­ток 1. По­это­му та­ки­ми опе­ра­ци­я­ми из 128 по­лу­чить 31 не­воз­мож­но.

в)  Из пунк­та б) сле­ду­ет, что число 1 по­лу­чить нель­зя. Нач­нем с числа 29, по­лу­чен­но­го в пунк­те а), и по­ка­жем, как по­лу­чить число 2:

Ответ: а) да, можно; б) нет, нель­зя; в) 2.