Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет более двух различных корней.
Преобразуем уравнение:
Таким образом, в системе координат xOa исходное уравнение задаёт объединение дуг окружностей радиуса 
с центрами в точках 
и 
лежащих выше и ниже прямой 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
Количество корней равнения равно количеству точек пересечения графика уравнения с горизонтальной прямой при соответствующем значении a.
Пользуясь построенным рисунком, получаем:
— при 
уравнение не имеет корней;
— при 
уравнение имеет один корень;
— при 
уравнение имеет два корня;
— при 
уравнение имеет три корня;
— при 
уравнение имеет четыре корня;
— при 
уравнение имеет три корня;
— при 
уравнение имеет два корня;
— при 
уравнение имеет три корня;
— при 
уравнение имеет четыре корня;
— при 
уравнение имеет три корня;
— при 
уравнение имеет два корня;
— при 
уравнение имеет один корень;
— при 
уравнение не имеет корней.
Таким образом, уравнение имеет более двух различных корней при 
или при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек и/или . | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки (   ), но неверно определены промежутки значений a. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружностей и прямых (графически или аналитически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет более двух различных корней.
Преобразуем уравнение:
Тем самым в системе координат xOa исходное уравнение задаёт объединение дуг окружностей радиуса 
с центрами в точках 
и 
лежащих выше и ниже прямой 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графика уравнения с горизонтальной прямой при соответствующем значении a.
Пользуясь построенным рисунком, получаем:
— при 
— нет решений;
— при 
— одно решение;
— при 
— два решения;
— при 
— три решения;
— при 
— четыре решения;
— при 
— три решения;
— при 
— два решения;
— при 
— три решения;
— при 
— четыре решения;
— при 
— три решения;
— при 
— два решения;
— при 
— одно решение;
— при 
— нет решений.
Таким образом, уравнение имеет более двух различных корней при 
или при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек и/или  . | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки (   ), но неверно определены промежутки значений a, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию окружностей и прямых (графически или аналитически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет больше двух различных корней.
При 
уравнение 
принимает вид
Получившееся уравнение задаёт на плоскости Oxa дугу 
окружности с центром в точке (–5; 12) радиусом 13, лежащую в полуплоскости 
с концами в точках (0; 0) и (7; 17).
При 
уравнение принимает вид
Получившееся уравнение задаёт на плоскости Oxa дугу 
окружности с центром в точке (12; 5) радиусом 13, лежащую в полуплоскости 
с концами в точках (0; 0) и (7; 17).
Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой a = c с объединением дуг и 
Дуга пересекается с прямой a = c в двух точках при 
и 
в одной точке при 
и 
и не пересекается при 
и 
Дуга пересекается с прямой a = c в двух точках при 
и 
в одной точке при 
и 
и не пересекается при 
и 
При c = 0 и при c = 17 прямая a = c проходит через общую точку дуг и Следовательно, исходное уравнение имеет больше двух различных корней при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет больше двух различных корней.
При 
уравнение 
принимает вид
Полученное уравнение задаёт на плоскости xOa дугу окружности с центром в точке (–8; 15) радиусом 17, лежащую в полуплоскости 
с концами в точках (0; 0) и (7; 23).
При 
уравнение принимает вид
Это уравнение задаёт на плоскости Oxa дугу окружности с центром в точке (15; 8) радиусом 17, лежащую в полуплоскости 
с концами в точках (0; 0) и (7; 23).
Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой a = c с объединением дуг и Дуга пересекается с прямой a = c в двух точках при 
и 
в одной точке при 
и 
и не пересекается при 
и 
Дуга пересекается с прямой a = c в двух точках при 
и 
в одной точке при 
и и не пересекается при 
и При c = 0 и при c = 23 прямая a = c проходит через общую точку дуг и Следовательно, исходное уравнение имеет больше двух различных корней при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх