PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение. Запишем уравнение в виде 
и построим графики левой и правой частей. Из графиков, учитывая, что несовпадающие прямые имеют не более одной общей точки, получим следующее.
При a = 0 нет решений, т. к. левая часть равна 0, а правая не больше −2.
При 
два решения есть тогда и только тогда, когда точка A лежит ниже точки B:
то есть при 
При 
два решения есть тогда и только тогда, когда точка C лежит ниже точки D: 
то есть при 
Приведем аналитическое решение.
Раскроем модуль при 
получим
Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке: 
то есть
При 
имеем:
полученное уравнение не имеет решений при 
при 
имеет единственное решение 
Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке:
При 
имеем:
Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке, поэтому 
то есть
Таким образом, уравнение имеет ровно два различных решения 
или 
Ответ: или
Приведём решение Елизаветы Зелененькой (Москва).
Решим задачу графическим методом в координатах (x; a). Прямые x + 1 = 0 и x − 1 = 0 разбивают координатную плоскость три области, в каждой из которых модули раскрываются согласно приведенной ниже таблице.
| Выражение | 1 область | 2 область | 3 область |
| x + 1 | − | + | + |
| x − 1 | − | − | + |
Найдем вид уравнения в каждой из областей. В первой первой области:
это уравнение прямой с коэффициентом наклона k = −0,5. Во второй области:
Полученное уравнение задает гиперболу, вертикальной асимптотой которой является ось ординат. В третьей области:
это уравнение прямой с коэффициентом наклона k = −0,5. Построим график уравнения (см. рис.), отметим, что гипербола пересекает прямые в точках (−1; 2) и (1; −1).
Исходное уравнение имеет два решения тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая 
пересекает график в двух точках, то есть лежит выше точки пересечения гиперболы с первой прямой либо ниже точки пересечения гиперболы со второй прямой. Таким образом, или при
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
или или 
имеет ровно два решения.
раскроем модули:
возрастает на 
и убывает на 
А при 
возрастает на 
и убывает на 
Отдельно проверим, что при 
функция принимает лишь отрицательные значения.
или 
:
обозначим левую и правую части f(x) и g(x) соответственно и построим графики этих функций. Их графиков получим следующее.
откуда 
то есть при 
откуда 
то есть при 
или 
получаем 
получаем 
система не имеет решений, при 
имеем 
получаем
и 
исходное уравнение имеет один корень 
исходное уравнение не имеет корней; 
исходное уравнение имеет один корень 
исходное уравнение имеет два корня 
и 
уравнение принимает вид 
откуда находим 
Корень 
удовлетворяет неравенству 
откуда получаем 
уравнение принимает вид 
При 
это уравнение не имеет корней, а при 
оно имеет единственный корень 
Корень 
принадлежит отрезку 
при 
откуда получаем
имеет корень на отрезке 
при 
и 
уравнение принимает вид 
откуда находим 
удовлетворяет неравенству 
откуда находим 
и 
уравнение принимает вид 
откуда находим 
Корень 
удовлетворяет неравенству 
откуда получаем 
уравнение принимает вид 
При 
это уравнение не имеет корней, а при 
оно имеет единственный корень 
Корень 
принадлежит отрезку 
при 
откуда получаем 
имеет корень на отрезке 
и 
уравнение принимает вид 
откуда находим 
удовлетворяет неравенству 
откуда получаем 
и 
