ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 647160 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$a\absx плюс 2 плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка \absx минус 2 плюс 4=0$

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

При $x меньше минус 2$ уравнение принимает вид $минус 3 x плюс 10 минус 4 a=0,$ откуда находим $x= дробь: числитель: 10 минус 4 a, знаменатель: 3 конец дроби .$ Корень $x= дробь: числитель: 10 минус 4 a, знаменатель: 3 конец дроби$ удовлетворяет неравенству $x меньше минус 2$ при $дробь: числитель: 10 минус 4 a, знаменатель: 3 конец дроби меньше минус 2,$ откуда получаем $a больше 4.$

При $минус 2 меньше или равно x меньше или равно 2$ уравнение принимает вид $левая круглая скобка 2 a минус 3 правая круглая скобка x плюс 10=0.$ При $a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ это уравнение не имеет корней, а при $a не равно q дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ оно имеет единственный корень $x= дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 минус 2 a конец дроби .$ Корень $\quad x= дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 минус 2 a конец дроби$ принадлежит отрезку $левая квадратная скобка минус 2 ; 2 правая квадратная скобка$ при $минус 2 меньше или равно дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 минус 2 a конец дроби меньше или равно 2,$ откуда получаем

$система выражений дробь: числитель: 1 0 , знаменатель: 3 минус 2 a конец дроби больше или равно минус 2 , дробь: числитель: 1 0 , знаменатель: 3 минус 2 a конец дроби меньше или равно 2 ; конец системы \quad система выражений дробь: числитель: 1 6 минус 4 a , знаменатель: 3 минус 2 a конец дроби больше или равно 0 , дробь: числитель: 4 плюс 4 a , знаменатель: 3 минус 2 a конец дроби меньше или равно 0 ; конец системы \quad система выражений дробь: числитель: a минус 4, знаменатель: 2 a минус 3 конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: 2 a минус 3 конец дроби больше или равно 0 . конец системы ...$

Следовательно, уравнение $левая круглая скобка 2 a минус 3 правая круглая скобка x плюс 10=0$ имеет корень на отрезке $левая квадратная скобка минус 2 ; 2 правая квадратная скобка$ при $a \leqslant минус 1$ и $a больше или равно 4.$

При $x больше 2$ уравнение принимает вид $3 x плюс 4 a минус 2=0,$ откуда находим $x= дробь: числитель: 2 минус 4 a, знаменатель: 3 конец дроби .$

Корень $x= дробь: числитель: 2 минус 4 a, знаменатель: 3 конец дроби$ удовлетворяет неравенству $x больше 2$ при $дробь: числитель: 2 минус 4 a, знаменатель: 3 конец дроби больше 2,$ откуда получаем $a меньше минус 1.$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при $a меньше минус 1$ и $a больше 4.$

Ответ: $a меньше минус 1 ;$ $a больше 4.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Верно раскрыты модули в исходном уравнении, задача сведена к исследованию принадлежности корней соответствующим промежуткам в зависимости от значений a, и хотя бы один из случаев исследован верно	1
Верно раскрыты модули в исходном уравнении. Задача сведена к исследованию принадлежности корней соответствующим промежуткам в зависимости от значений a, и хотя бы два случая исследованы верно, при этом исследовано количество корней исходного уравнения при $a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$ ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек a  =  1 и/или a  =  4	3
Обоснованно получен правильный ответ	4
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 563618: 563599 563658 647140 ...563599 563658 647140 647160 Все

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь