Ре­ше­ние. Пусть это число со­сто­ит из цифр a, b, c, тогда оно равно

а)  Имеем урав­не­ние от­ку­да что воз­мож­но, на­при­мер, для числа 110.

б)  Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем урав­не­ние от­ку­да При имеем

по­это­му таких чисел нет. Если же то оста­ют­ся три ва­ри­ан­та:

—     — не­воз­мож­но,

—     — не­воз­мож­но,

—     — не­воз­мож­но.

Зна­чит, таких чисел нет.

в)  Число имеет вид нас ин­те­ре­су­ет ми­ни­мум вы­ра­же­ния При имеем При имеем по­это­му по­лу­чить мень­ше 37 при таких усло­ви­ях нель­зя.

Те­перь раз­бе­рем слу­чаи, когда

—  числа 794, 785, 776, 767, 758, 749 не крат­ны 20,

—  число 777 крат­но 21, а числа, боль­шие его, 786 и 795 не под­хо­дят,

—  числа 796, 787, 778, 769 не крат­ны 22,

—  числа 797, 788, 779 не крат­ны 23,

—  числа 798, 789 не крат­ны 24,

—  число 799 не крат­но 25.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  37.

При­ме­ча­ние.

Дру­гой путь ре­ше­ния за­да­чи по­ка­зан нами в за­да­нии 563659.

Ре­ше­ние. Пусть это число со­сто­ит из цифр a, b, c, тогда оно равно

а)  По­лу­ча­ем:

При ра­вен­ство будет вы­пол­не­но. Сле­до­ва­тель­но, 198  — один из воз­мож­ных при­ме­ров.

б)  По­лу­ча­ем:

Но сле­до­ва­тель­но, левая часть ра­вен­ства не мень­ше 95, а пра­вая часть не боль­ше 36. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Число имеет вид не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее целое зна­че­ние вы­ра­же­ния Раз­бе­рем слу­чаи, когда (см. табл.). Для таких b и c наи­боль­шее от­но­ше­ние равно 80.

b	c
0	1
0	2
1	0
1	1
2	0

При спра­вед­ли­ва оцен­ка

по­это­му в этом слу­чае наи­боль­шее воз­мож­ное от­но­ше­ние мень­ше 80. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее воз­мож­ное от­но­ше­ние до­сти­га­ет­ся при оно равно 80.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  80.

При­ведём ре­ше­ние пунк­та б) Дья­ко­вой Дарьи (Москва).

По­ло­жим и за­пи­шем усло­вие в виде По усло­вию, S на­ту­раль­ное, а зна­чит, число долж­но за­кан­чи­вать­ся либо на 0, либо на 5. Наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние S со­от­вет­ству­ет наи­мень­ше­му по­это­му С дру­гой сто­ро­ны, По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие по­ка­зы­ва­ет, что среди трех­знач­ных чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся нулем, ис­ко­мо­го нет.

Рас­смот­рим числа окан­чи­ва­ю­щи­е­ся на 5. В этом слу­чае С дру­гой сто­ро­ны, Вы­пи­шем трех­знач­ные числа, за­кан­чи­ва­ю­щи­е­ся на 5, сумма цифр ко­то­рых не мень­ше 21 и не боль­ше 23. По­лу­чим числа 995, 985, 975, 895, 885, 795. Но каж­дое из най­ден­ных чисел при де­ле­нии на 5 даст боль­ше 23. Сле­до­ва­тель­но, среди трех­знач­ных чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 5, ис­ко­мо­го тоже нет.

При­ме­ча­ние.

При­мер числа, удо­вле­тво­ря­ю­ще­го тре­бо­ва­ни­ям пунк­та а), един­ствен­ный. Дей­стви­тель­но, при левая часть ра­вен­ства не мень­ше 89. А пра­вая часть при не боль­ше 79, при не мень­ше 90.

Дру­гие пути ре­ше­ния ана­ло­гич­ных задач по­ка­за­ны нами в за­да­ни­ях 563580 и 563659.

Ре­ше­ние. Пусть это число со­сто­ит из цифр a, b, c, тогда оно равно 100a + 10b + c.

а)  По­лу­ча­ем:

При ра­вен­ство будет вы­пол­не­но. Сле­до­ва­тель­но, 117 − один из воз­мож­ных при­ме­ров.

б)  По­лу­ча­ем:

Но сле­до­ва­тель­но, левая часть ра­вен­ства не мень­ше 94, а пра­вая часть не боль­ше 45. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Имеем урав­не­ние тре­бу­ет­ся найти мак­си­маль­но воз­мож­ное целое x. Рас­смот­рим слу­чай Тогда

Ис­ход­ное число не может быть равно 600, по­это­му и ми­ни­маль­ное воз­мож­ное b, при ко­то­ром x будет целым, равно 3. Тогда За­ме­тим, что при по­лу­чим

Те­перь раз­берём слу­чай Имеем:

Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му надо рас­смот­реть по­лу­чим

Далее рас­смот­рим слу­чай Имеем:

Рас­смат­ри­вая най­дем

Оста­лось рас­смот­реть слу­чай, когда и Из ис­ход­но­го со­от­но­ше­ния по­лу­ча­ем:

а тогда

от­ку­да то есть

Тем самым ис­ко­мое наи­боль­шее зна­че­ние равно 70.

Ответ: а) да, б) нет, в) 70.

При­ме­ча­ние.

Дру­гой путь ре­ше­ния по­ка­зан нами в за­да­ни­ях 563580 и 563677.