Обо­зна­чим на­чаль­ную цену па­ке­та акций  руб­лей, еже­ме­сяч­ный по­вы­ша­ю­щий ко­эф­фи­ци­ент сто­и­мо­сти па­ке­та акций и пусть еже­ме­сяч­но от­кла­ды­ва­е­мая сумма со­став­ля­ет a руб­лей. Тогда в конце -⁠го ме­ся­ца пакет акций будет сто­ить не боль­ше  руб­лей. К се­ре­ди­не n-⁠го ме­ся­ца Сер­гей на­ко­пит сумму an руб­лей. Чтобы иметь воз­мож­ность ку­пить этот пакет акций во вто­рой по­ло­ви­не n-⁠го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие

Ми­ни­маль­ное зна­че­ние будет со­от­вет­ство­вать ра­вен­ству

Рас­смот­рим по­сле­до­ва­тель­ность и най­дем наи­мень­ший член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти. Для этого ис­сле­ду­ем, как ме­ня­ет­ся част­ное двух со­сед­них чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти в за­ви­си­мо­сти от n:

По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние мо­но­тон­но воз­рас­та­ет с ро­стом n, оно мень­ше 1 при равно 1 при и боль­ше 1 при Это озна­ча­ет, что наи­мень­шим чле­ном по­сле­до­ва­тель­но­сти яв­ля­ет­ся а по­то­му ис­ко­мая наи­мень­шая сумма равна

Ответ: 78 125 руб­лей.

При­ме­ча­ние.

Чтобы найти наи­мень­шее зна­че­ние суммы, можно было рас­смот­реть не част­ное, а раз­ность по­сле­до­ва­тель­ных сумм:

Знак раз­но­сти сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния ко­то­рое при под­ста­нов­ке при­ни­ма­ет вид Это вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но при равно нулю при и от­ри­ца­тель­но при Это озна­ча­ет, что

Зна­чит, наи­мень­шая сумма, ко­то­рую не­об­хо­ди­мо еже­ме­сяч­но от­кла­ды­вать, равна

Если пакет по­до­ро­жа­ет n раз, Ари­старх смо­жет его ку­пить по цене руб. При этом от­кла­ды­вать день­ги на по­куп­ку он будет раз, Зна­чит, каж­дый раз он от­кла­ды­вал руб­лей. Оста­лось найти наи­мень­шее зна­че­ние этого вы­ра­же­ния. Срав­ним два со­сед­них вы­ра­же­ния:

По­лу­чен­ное част­ное боль­ше еди­ни­цы при и мень­ше еди­ни­цы при Зна­чит, зна­че­ния вы­ра­же­ния умень­ша­ют­ся до оста­ют­ся теми же при и даль­ше рас­тут. Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­ший пла­теж будет при или и он будет равен руб.

Ответ: 41 472 руб.

Пусть Алек­сандр от­кла­ды­ва­ет в се­ре­ди­не каж­до­го ме­ся­ца x руб­лей. К се­ре­ди­не n-го ме­ся­ца у Алек­сандра ско­пит­ся nx руб­лей, а акции будут сто­ить не более руб­лей. Для того, чтобы Алек­сандр смог ку­пить пакет акций в этом ме­ся­це, не­об­хо­ди­мо, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство По­ло­жим Для того, чтобы Алек­сандр смог через не­ко­то­рое время ку­пить пакет акций, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но от­кла­ды­вать сумму боль­шую либо рав­ную наи­мень­ше­му из чисел a_n. Срав­ним два по­сле­до­ва­тель­ных таких числа. Для этого вы­чис­лим их от­но­ше­ние: От­сю­да по­лу­ча­ем, что при n < 4 вы­пол­не­но а при вы­пол­не­но Зна­чит, наи­мень­шим из чисел a_n будет число По­это­му наи­мень­шая сумма, ко­то­рую нужно от­кла­ды­вать Алек­сан­дру, равна 54 925 руб­лей.

Ответ: 54 925 руб­лей.