а)  За­ме­тим, что по­сколь­ку этот угол опи­ра­ет­ся на диа­метр AB. Тогда BD   — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. По свой­ству вы­со­ты по­лу­ча­ем, что тогда Тре­уголь­ни­ки EOB и DOA равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, зна­чит, EB  =  AD, от­ку­да

б)  Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка FBE:

Вы­чис­лим длины от­рез­ков:

При­ме­ним тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABC и пря­мой ODF:

от­ку­да Таким об­ра­зом, C  — се­ре­ди­на BF и Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Да­ни­лы Кар­по­ва.

Вы­чис­лим длины от­рез­ков:

Как до­ка­за­но в пунк­те а), Тре­уголь­ни­ки EOB и DOA равны, тогда ∠BAD  =  ∠ ABE. Эти углы на­крест ле­жа­щие, тогда AD || BE. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник FCD по­до­бен FBE. Тогда

Сле­до­ва­тель­но, BD  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка FBE, она делит его на два тре­уголь­ни­ка рав­ной пло­ща­ди, тогда

а)  За­ме­тим, что по­сколь­ку этот угол опи­ра­ет­ся на диа­метр AB. Тогда BD   — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. По свой­ству вы­со­ты по­лу­ча­ем, что тогда Тре­уголь­ни­ки EOB и DOA равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, зна­чит, EB  =  AD, от­ку­да

б)  Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка FBE:

Вы­чис­лим длины от­рез­ков:

При­ме­ним тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABC и пря­мой ODF:

от­ку­да Таким об­ра­зом,

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Да­ни­и­ла Шу­май­ло­ва.

Пусть За­ме­тим, что тогда Пусть Это цен­траль­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на ту же дугу, что и впи­сан­ный угол AOD, тогда:

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BOF:

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BOE:

Тогда: