ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 548819 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 25.07.2020. Основная волна, резервный день. Вариант 2;

Задания 18 ЕГЭ–2020.

Классификатор алгебры: Уравнения высших степеней, Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения параметра α, при каждом из которых уравнение $x в степени 4 синус альфа плюс 2 x в квадрате косинус альфа плюс синус альфа =0$ имеет ровно два различных решения.

Решение.

Пусть $x в квадрате =t.$ Для того чтобы исходное уравнение имело ровно 2 различных корня, уравнение

$t в квадрате синус альфа плюс 2t косинус альфа плюс синус альфа =0 левая круглая скобка * правая круглая скобка$

должно иметь ровно один положительный корень.

Если $синус альфа =0,$ то уравнение (⁎) равносильно уравнению $t=0,$ что не удовлетворяет условию задачи. Если $синус альфа не равно 0,$ то

$t в квадрате синус альфа плюс 2t косинус альфа плюс синус альфа =0 равносильно t в квадрате плюс 2t\ctg альфа плюс 1=0.$

По теореме Виета произведение корней полученного квадратного уравнения равно 1. Значит, это уравнение имеет ровно один положительный корень только в случае, когда его дискриминант равен нулю и абсцисса вершины параболы, являющейся графиком левой части уравнения, положительна:

$система выражений \ctg в квадрате альфа минус 1=0, минус \ctg альфа больше 0 конец системы . равносильно система выражений \ctg альфа =\pm1,\ctg альфа меньше 0 конец системы . равносильно \ctg альфа = минус 1 равносильно альфа = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$ $система выражений \ctg в квадрате альфа минус 1=0, минус \ctg альфа больше 0 конец системы . равносильно система выражений \ctg альфа =\pm1,\ctg альфа меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно \ctg альфа = минус 1 равносильно альфа = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

Ответ: $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

Аналоги к заданию № 548819: 549118 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 25.07.2020. Основная волна, резервный день. Вариант 2;

Задания 18 ЕГЭ–2020.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 18 № 549118 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Основная волна, резервный день. Вариант 3

Классификатор алгебры: Уравнения высших степеней, Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения параметра α, при каждом из которых уравнение $x в степени 4 косинус альфа плюс 2 x в квадрате синус альфа плюс косинус альфа =0$ имеет ровно два различных решения.

Решение.

Если $косинус альфа =0,$ тогда уравнение принимает вид $2x в квадрате синус альфа =0$ и будет иметь только один корень. Если $косинус альфа не равно 0,$ то можно поделить на $косинус альфа$ и ввести замену $t=x в квадрате .$ Получаем:

$t в квадрате плюс 2t тангенс альфа плюс 1=0.$

Каждому положительному корню t соответствуют два различных значения x, а каждому отрицательному  — ни одного, при этом $t не равно 0.$ Значит, для того, чтобы уравнение имело ровно два подходящих значения x, нужно, чтобы квадратное уравнение имело ровно один положительный корень.

Так как по теореме Виета произведение корней равно 1, уравнение имеет два корня одного знака. Таким образом, необходимо, чтобы уравнение имело всего один корень. Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант равен нулю. Имеем:

$4 тангенс в квадрате альфа минус 4=0 равносильно тангенс альфа =\pm 1.$

Таким образом, имеем следующие уравнения $t в квадрате минус 2t плюс 1=0$ и $t в квадрате плюс 2t плюс 1=0.$ Второе не подходит, так как имеет единственный отрицательный корень. Следовательно, единственный подходящий случай это

$тангенс альфа = минус 1 равносильно альфа = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 548819: 549118 Все

Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Основная волна, резервный день. Вариант 3

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе