Пусть сумма всех чисел в пер­вой груп­пе равна A, во вто­рой  — B, в тре­тьей  — C, и пусть ко­ли­че­ства чисел равны со­от­вет­ствен­но x, y и z. При­пи­сы­ва­ние цифры к числу уве­ли­чи­ва­ет его в 10 раз и при­бав­ля­ет эту цифру.

а)  Да, это воз­мож­но. На­при­мер, можно из чисел 2, 7, 3 сде­лать числа 26, 79, 3.

б)  Нет. Учи­ты­вая за­ме­ча­ние, сде­лан­ное в на­ча­ле ре­ше­ния, по­лу­чим урав­не­ние или что не­воз­мож­но, по­сколь­ку сумма чисел все­гда не мень­ше их ко­ли­че­ства, а сле­до­ва­тель­но, от­ку­да то есть Про­ти­во­ре­чие.

в)  Рас­смот­рим част­ное новой суммы и ста­рой:

Видно, что C долж­но быть сде­ла­но как можно мень­ше, по­это­му можно счи­тать, что в тре­тьей груп­пе лишь одно число (иначе пе­ре­не­сем одно из чисел из тре­тьей груп­пы во вто­рую). Ана­ло­гич­но при пе­ре­но­се числа из пер­вой груп­пы во вто­рую чис­ли­тель дроби уве­ли­чит­ся, а зна­ме­на­тель не из­ме­нит­ся. Зна­чит, и в пер­вой груп­пе долж­но быть лишь одно число. Далее, если число в тре­тьей груп­пе не ми­ни­маль­ное из всех, то его вы­год­но об­ме­нять ме­ста­ми с ми­ни­маль­ным (это не по­вли­я­ет на зна­ме­на­тель, но уве­ли­чит чис­ли­тель), а затем за­ме­нить на еди­ни­цу (это умень­шит зна­ме­на­тель и не из­ме­нит чис­ли­тель). Имеем:

При фик­си­ро­ван­ном y сле­ду­ет сде­лать зна­ме­на­тель дроби как можно мень­ше. Для этого на роль чисел, со­став­ля­ю­щих A и B, сле­ду­ет взять наи­мень­шие воз­мож­ные, то есть По­лу­чим:

Най­дем зна­че­ния по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния при раз­лич­ных y:

До­ка­жем, что при про­чих y ответ тоже будет мень­ше, чем 11,6. Для этого изу­чим по­ве­де­ние вто­ро­го сла­га­е­мо­го. Пусть Най­дем про­из­вод­ную:

При най­ден­ная про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, функ­ция f убы­ва­ет, а по­то­му при ее зна­че­ния мень­ше, чем зна­че­ние при

Итак, наи­боль­шее воз­мож­ное уве­ли­че­ние суммы со­став­ля­ет 11,6 ис­ход­ной ве­ли­чи­ны и до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, для чисел, 1, 2, 3, 4, 5, ко­то­рые пре­вра­ща­ют­ся в 1, 26, 39, 49, 59 с сум­мой

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  в 11,6 раза.

а)  Пусть на доске были на­пи­са­ны числа 1, 8 и 4, из ко­то­рых по­лу­чи­ли числа 13, 87 и 4. При этом 1 + 8 + 4 = 13, 13 + 87 + 4 = 104 = 8 · 13. Зна­чит, сумма уве­ли­чи­лась в 8 раз.

б)  Пусть в пер­вой груп­пе было m чисел, а их сумма рав­ня­лась А, во вто­рой груп­пе было n чисел, а их сумма рав­ня­лась B, а сумма чисел в тре­тьей груп­пе рав­ня­лась C. Тогда сумма чисел была равна А + В + С, а стала 10A + 3m + 10B + 7n + С.

Пред­по­ло­жим, что сумма уве­ли­чи­лась в 17 раз. Тогда по­лу­ча­ем:

Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку

в)  Рас­смот­рим от­но­ше­ние Q по­лу­чив­шей­ся суммы чисел и из­на­чаль­ной:

Если пе­ре­не­сти одно число из пер­вой или тре­тьей груп­пы во вто­рую, то А + В + С не из­ме­нит­ся, а 3m + 7n − 9C уве­ли­чит­ся. Зна­чит, от­но­ше­ние Q будет наи­боль­шим, если в пер­вой и тре­тьей груп­пах на­хо­дит­ся по од­но­му числу. По­это­му будем счи­тать, что m  =  1, а общее ко­ли­че­ство чисел равно n + 2. По­сколь­ку числа раз­лич­ные, по­лу­ча­ем Кроме того, Зна­чит,

Найдём, при каком зна­че­нии n вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние. Рас­смот­рим раз­ность

Зна­чит, при и при Таким об­ра­зом, f(n) при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при n  =  4. Сле­до­ва­тель­но,

По­ка­жем, что от­но­ше­ние Q могло рав­нять­ся Пусть было на­пи­са­но шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, из ко­то­рых по­лу­чи­ли числа 1, 23, 37, 47, 57, 67. Тогда сумма чисел была равна 21, а стала 232. Таким об­ра­зом,

Ответ: а) да, 6) нет, в)

a)  Пусть на доске были на­пи­са­ны числа 1, 2 и 40, из ко­то­рых по­лу­чи­ли числа 17, 29 и 40. При этом Зна­чит, сумма уве­ли­чи­лась в 2 раза.

б)  Пусть в пер­вой груп­пе было m чисел, их сумма рав­ня­лась A, во вто­рой груп­пе было n чисел, их сумма рав­ня­лась B, а сумма чисел в тре­тьей груп­пе рав­ня­лась C. Тогда сумма чисел была равна а стала равна Пред­по­ло­жим, что сумма уве­ли­чи­лась в 19 раз. Тогда по­лу­ча­ем

Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку

в)  Пред­по­ло­жим, что сумма уве­ли­чи­лась в 11 раз. Тогда по­лу­ча­ем

Пусть в тре­тьей груп­пе было k чисел, а всего было чисел. По­сколь­ку числа раз­лич­ные, по­лу­ча­ем Кроме того, Зна­чит,

тогда сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да на­хо­дим Учи­ты­вая, что S целое, по­лу­ча­ем По­ка­жем, что могло быть на­пи­са­но 14 чисел. Пусть были на­пи­са­ны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, из ко­то­рых по­лу­чи­ли числа 1, 27, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109, 119, 129, 139, 159. Тогда сумма чисел была равна 106, а стала равна 1166, то есть уве­ли­чи­лась в 11 раз.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  14.

a)  Пусть на доске были на­пи­са­ны числа 1, 2 и 36, из ко­то­рых по­лу­чи­ли числа 14, 28 и 36. При этом Зна­чит, сумма уве­ли­чи­лась в 2 раза.

б)  Пусть в пер­вой груп­пе было m чисел, их сумма рав­ня­лась A, во вто­рой груп­пе было n чисел, их сумма рав­ня­лась B, а сумма чисел в тре­тьей груп­пе рав­ня­лась C. Тогда сумма чисел была равна а стала равна Пред­по­ло­жим, что сумма уве­ли­чи­лась в 18 раз. Тогда по­лу­ча­ем

Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку

в)  Пред­по­ло­жим, что сумма уве­ли­чи­лась в 11 раз. Тогда по­лу­ча­ем

Пусть в тре­тьей груп­пе было k чисел, а всего было чисел. По­сколь­ку числа раз­лич­ные, по­лу­ча­ем Кроме того, Зна­чит,

тогда сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да на­хо­дим Учи­ты­вая, что S целое, по­лу­ча­ем По­ка­жем, что могло быть на­пи­са­но 11 чисел. Пусть были на­пи­са­ны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, из ко­то­рых по­лу­чи­ли числа 1, 24, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98, 108, 128. Тогда сумма чисел была равна 67, а стала равна 737, то есть уве­ли­чи­лась в 11 раз.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  11.