PDF-версии: 
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Решение. Пусть сумма всех чисел в первой группе равна A, во второй — B, в третьей — C, и пусть количества чисел равны соответственно x, y и z. Приписывание цифры к числу увеличивает его в 10 раз и прибавляет эту цифру.
а) Да, это возможно. Например, можно из чисел 2, 7, 3 сделать числа 26, 79, 3.
б) Нет. Учитывая замечание, сделанное в начале решения, получим уравнение 
или 
что невозможно, поскольку сумма чисел всегда не меньше их количества, а следовательно, 
откуда 
то есть 
Противоречие.
в) Рассмотрим частное новой суммы и старой:
Видно, что C должно быть сделано как можно меньше, поэтому можно считать, что в третьей группе лишь одно число (иначе перенесем одно из чисел из третьей группы во вторую). Аналогично при переносе числа из первой группы во вторую числитель дроби увеличится, а знаменатель не изменится. Значит, и в первой группе должно быть лишь одно число. Далее, если число в третьей группе не минимальное из всех, то его выгодно обменять местами с минимальным (это не повлияет на знаменатель, но увеличит числитель), а затем заменить на единицу (это уменьшит знаменатель и не изменит числитель). Имеем:
При фиксированном y следует сделать знаменатель дроби как можно меньше. Для этого на роль чисел, составляющих A и B, следует взять наименьшие возможные, то есть 
Получим:
Найдем значения полученного выражения при различных y:
y = 1: 
y = 2: 
y = 3: 
y = 4: 
Докажем, что при прочих y ответ тоже будет меньше, чем 11,6. Для этого изучим поведение второго слагаемого. Пусть 
Найдем производную:
При 
найденная производная отрицательна, функция f убывает, а потому при ее значения меньше, чем значение при 
Итак, наибольшее возможное увеличение суммы составляет 11,6 исходной величины и достигается, например, для чисел, 1, 2, 3, 4, 5, которые превращаются в 1, 26, 39, 49, 59 с суммой 
Ответ: а) да, б) нет, в) в 11,6 раза.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение пункта а; ― обоснованное решение пункта б; ― искомая оценка в пункте в; ― пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
3m + 7n = 7A + 7B + 16C.
Кроме того, 
принимает наибольшее значение. Рассмотрим разность
при 
и 
при 
Таким образом, f(n) принимает наибольшее значение при n = 4. Следовательно,
Пусть было написано шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, из которых получили числа 1, 23, 37, 47, 57, 67. Тогда сумма чисел была равна 21, а стала 232. Таким образом, 
Значит, сумма увеличилась в 2 раза.
а стала равна 
Предположим, что сумма увеличилась в 19 раз. Тогда получаем 
чисел. Поскольку числа различные, получаем 
Кроме того, 
следовательно,
Учитывая, что S целое, получаем 
Покажем, что могло быть написано 14 чисел. Пусть были написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, из которых получили числа 1, 27, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109, 119, 129, 139, 159. Тогда сумма чисел была равна 106, а стала равна 1166, то есть увеличилась в 11 раз.
Значит, сумма увеличилась в 2 раза.
Предположим, что сумма увеличилась в 18 раз. Тогда получаем 
следовательно,
Учитывая, что S целое, получаем 
Покажем, что могло быть написано 11 чисел. Пусть были написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, из которых получили числа 1, 24, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98, 108, 128. Тогда сумма чисел была равна 67, а стала равна 737, то есть увеличилась в 11 раз.