РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 19 № 526680 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 24.06.2019. Основная волна, резервный день. Вариант 503 (Часть 2);

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Квадратное уравнение $x в квадрате плюс px плюс q=0$ имеет два различных натуральных корня.

а)  Пусть $q = 34.$ Найдите все возможные значения p.

б)  Пусть $p плюс q = 22.$ Найдите все возможные значения q.

в)  Пусть $q в квадрате минус p в квадрате =2812.$ Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Решение. а)  Обозначим корни данного уравнения за $x_1,x_2.$ По теореме Виета $x_1 умножить на x_2=34.$ Разложить число 34 на два натуральных множителя можно только двумя способами: $34=1 умножить на 34=2 умножить на 17.$ Получаем, что $x_1 плюс x_2=35$ или $x_1 плюс x_2=19.$ Отсюда по теореме Виета получаем, что $p= минус 35$ или $p= минус 19.$

б)  Получаем уравнение $минус левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка плюс x_1x_2=22.$ Отсюда $1 минус x_1 минус x_2 плюс x_1x_2=23 равносильно левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =23.$ $левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка$   — целые неотрицательные числа, поэтому $x_1 минус 1=1,$ $x_2 минус 1=23$ (или наоборот). В любом случае $q=x_1x_2=48.$

в)   $q в квадрате минус p в квадрате = левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка левая круглая скобка q плюс p правая круглая скобка = левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1x_2 минус x_1 минус x_2 правая круглая скобка =2812=4 умножить на 703=4 умножить на 19 умножить на 37.$ Числа $q минус p$ и $q плюс p$ отличаются друг от друга на чётное число, поэтому они одной чётности, поэтому каждое из них делится на 2 и не делится на 4. Кроме того, $q минус p больше q плюс p,$ поэтому остаются такие варианты:

1.   $x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=1406, x_1x_2 минус x_1 минус x_2=2;$

2.   $x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=74, x_1x_2 минус x_1 минус x_2=38.$

Рассмотрим первый случай: $левая круглая скобка x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 плюс 1 правая круглая скобка =1407, левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =3.$ Натуральными решениями второго уравнения являются пары чисел (4; 2) или (2; 4), которые не являются решениями первого уравнения. Поэтому этот случай не приводит к решениям.

Рассмотрим второй случай: $левая круглая скобка x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 плюс 1 правая круглая скобка =75, левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =39.$ Всевозможные натуральные решения второго уравнения это (40; 2), (14; 4), (4; 14), (2; 40). Первому уравнению удовлетворяют только пары (14; 4) и (4; 14).

Ответ: а)  −35, −19; б)  48; в)  4 и 14.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены результаты пунктов а, б, в.	4
Верно получены результаты пунктов (а или б) и в.	3
Верно получены результаты пунктов (а и б) или в.	2
Верно получены результаты пунктов а или б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  −35, −19; б)  48; в)  4 и 14.

526680

а)  −35, −19; б)  48; в)  4 и 14.

Источники:

ЕГЭ по математике 24.06.2019. Основная волна, резервный день. Вариант 503 (Часть 2);

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

2.  Тип 19 № 526701 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 24.06.2019. Основная волна, резервный день;

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Квадратное уравнение $x в квадрате плюс px плюс q=0$ имеет два различных натуральных корня.

а)  Пусть $q = 55.$ Найдите все возможные значения p.

б)  Пусть $p плюс q=30.$ Найдите все возможные значения q.

в)  Пусть $q в квадрате минус p в квадрате = 2108.$ Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Решение. а)  Обозначим корни данного уравнения за $x_1, x_2.$ По теореме Виета $x_1 умножить на x_2=55.$ Разложить число 55 на два натуральных множителя можно только двумя способами: $55=1 умножить на 55=5 умножить на 11.$ Получаем, что $x_1 плюс x_2=56$ или $x_1 плюс x_2=16.$ Отсюда по теореме Виета получаем, что $p= минус 56$ или $p= минус 16.$

б)  Получаем уравнение $минус левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка плюс x_1x_2=30.$ Отсюда $1 минус x_1 минус x_2 плюс x_1x_2=31 равносильно левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =31.$ $левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка$   — целые неотрицательные числа, поэтому $x_1 минус 1=1,$ $x_2 минус 1=31$ (или наоборот). В любом случае $q=x_1x_2=64.$

в)   $q в квадрате минус p в квадрате = левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка левая круглая скобка q плюс p правая круглая скобка = левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1x_2 минус x_1 минус x_2 правая круглая скобка =2108=4 умножить на 527=4 умножить на 17 умножить на 31.$ Числа $q минус p$ и $q плюс p$ отличаются друг от друга на чётное число, поэтому они одной чётности, поэтому каждое из них делится на 2 и не делится на 4. Кроме того $q минус p больше q плюс p,$ поэтому остаются такие варианты:

1) $x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=1054, x_1x_2 минус x_1 минус x_2=2;$

2) $x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=62, x_1x_2 минус x_1 минус x_2=34.$

Рассмотрим первый случай: $левая круглая скобка x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 плюс 1 правая круглая скобка =1055, левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =3.$ Натуральными решениями второго уравнения являются пары чисел (4; 2) или (2; 4), которые не являются решениями первого уравнения. Поэтому этот случай не приводит к решениям.

Рассмотрим второй случай: $левая круглая скобка x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 плюс 1 правая круглая скобка =63, левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =35.$ Всевозможные натуральные решения второго уравнения это (36; 2), (8; 6), (6; 8), (2; 36). Первому уравнению удовлетворяют только пары (8; 6) и (6; 8).

Ответ: а) −56, −16; б) 64; в) 6 и 8.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены результаты пунктов а, б, в.	4
Верно получены результаты пунктов (а или б) и в.	3
Верно получены результаты пунктов (а и б) или в	2
Верно получены результаты пунктов а или б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) −56, −16; б) 64; в) 6 и 8.

526701

а) −56, −16; б) 64; в) 6 и 8.

Источники:

ЕГЭ по математике 24.06.2019. Основная волна, резервный день;

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

3.  Тип 19 № 562497 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 352

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Известно, что квадратное уравнение x² + px + q  =  0 имеет два различных натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  26.

б)  Найдите все возможные значения q, если q + p  =  72.

в)  Найдите все возможные значения корней уравнения, если q² − p²  =  2812.

Решение. а)  По теореме Виета произведение этих корней равно 26, поэтому сами они равны 13 и 2 или 26 и 1. При этом $p= минус x_1 минус x_2,$ откуда p  =  −15 или p  =  −27.

б)  Получаем уравнение $минус x_1 минус x_2 плюс x_1x_2=72,$ откуда $1 минус x_1 минус x_2 плюс x_1x_2=73,$ $левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =73,$ значит, $x_1 минус 1=1$ и $x_2 минус 1=73$ или наоборот. В любом случае $q=x_1x_2=2 умножить на 74=148.$

в)  Заметим, что

$q в квадрате минус p в квадрате = левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка левая круглая скобка q плюс p правая круглая скобка = левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1x_2 минус x_1 минус x_2 правая круглая скобка =2812=4 умножить на 703=4 умножить на 19 умножить на 37.$ $q в квадрате минус p в квадрате = левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка левая круглая скобка q плюс p правая круглая скобка = левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1x_2 минус x_1 минус x_2 правая круглая скобка =$
$=2812=4 умножить на 703=4 умножить на 19 умножить на 37.$ $q в квадрате минус p в квадрате = левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка левая круглая скобка q плюс p правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1x_2 минус x_1 минус x_2 правая круглая скобка =$
$=2812=4 умножить на 703=4 умножить на 19 умножить на 37.$

Числа $q минус p$ и $q плюс p$ отличаются друг от друга на чётное число, поэтому они одной чётности, поэтому каждое из них делится на 2 и не делится на 4. Кроме того, $q минус p больше q плюс p,$ поэтому остаются такие варианты:

а)   $x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=1406$ и $x_1x_2 минус x_1 минус x_2=2;$

б)   $x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=74$ и $x_1x_2 минус x_1 минус x_2=38.$

Рассмотрим первый случай: $левая круглая скобка x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 плюс 1 правая круглая скобка =1407,$ $левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =3.$ Натуральными решениями второго уравнения являются пары чисел (4; 2) или (2; 4), которые не являются решениями первого уравнения. Поэтому этот случай не приводит к решениям.

Рассмотрим второй случай: $левая круглая скобка x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 плюс 1 правая круглая скобка =75,$ $левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =39.$ Всевозможные натуральные решения второго уравнения это (40; 2), (14; 4), (4; 14), (2; 40). Первому уравнению удовлетворяют только пары (14; 4) и (4; 14).

Ответ: а) −27 или −15; б) 148; в) 4 и 14.

----------

Частично дублирует задание 526680 из основной волны ЕГЭ 2019 года.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены результаты пунктов а, б, в.	4
Верно получены результаты пунктов (а или б) и в.	3
Верно получены результаты пунктов (а и б) или в	2
Верно получены результаты пунктов а или б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) −27 или −15; б) 148; в) 4 и 14.

562497

а) −27 или −15; б) 148; в) 4 и 14.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 352

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	526680	а)  −35, −19; б)  48; в)  4 и 14.
2	526701	а) −56, −16; б) 64; в) 6 и 8.
3	562497	а) −27 или −15; б) 148; в) 4 и 14.