ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 525118 Добавить в вариант

Источники:

Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 1;

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019.

Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Пирамида, Расстояние между скрещивающимися прямыми

Стереометрическая задача. Расстояние между прямыми и плоскостями

Дана пирамида SABC, в которой $SC=SB=AB=AC= корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента ,$ $SA=BC=2 корень из 5 .$

а)  Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.

б)  Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

Решение.

а)  Заметим, что треугольники SBC и АВС равны по трем сторонам. Они являются равнобедренными и имеют общее основание. Проведем медианы SN и AN к этому основанию. Они попадут в одну точку точку N, которая является серединой ВС, и будут являться высотами данных треугольников. Таким образом, прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASN, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости ASN. В частности, перпендикулярна прямой SA.

б)  Построим высоту NМ треугольника ASN. Заметим, что NМ является общим перпендикуляром прямых AS (по построению) и ВС, поскольку NМ лежит в плоскости ASN. Тогда длина NМ и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми AS и ВС.

Заметим, что $SN=AN= корень из: начало аргумента: 17 минус 5 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента .$ Тогда треугольник SNA равнобедренный, его высота NМ является также медианой, тогда из прямоугольного треугольника АМN находим:

$NM= корень из: начало аргумента: AN в квадрате минус AM в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 12 минус 5 конец аргумента = корень из 7 .$

Ответ: б) $корень из 7 .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) $корень из 7 .$

Аналоги к заданию № 525118: 525139 Все

Источники:

Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 1;

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Видеокурс · Помощь

Тип 14 № 525139 Добавить в вариант

Источники:

Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 2;

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019.

Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Пирамида, Расстояние между скрещивающимися прямыми

Стереометрическая задача. Расстояние между прямыми и плоскостями

Дана пирамида SABC, в которой $SC=SB=AB=AC= корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента ,$ $SA=BC=2 корень из 6 .$

а)  Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.

б)  Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

Решение.

а)  Заметим, что треугольники SBC и АВС равны по трем сторонам. Они являются равнобедренными и имеют общее основание. Проведем медианы SN и AN к этому основанию. Они попадут в одну точку точку N, которая является серединой ВС и будут являться высотами данных треугольников. Тем самым, прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASN, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости ASN. В частности, перпендикулярна прямой SA. Quod erat demonstrandum.

б)  Построим высоту NМ треугольника ASN. Заметим, что NМ является общим перпендикуляром прямых AS (по построению) и ВС, поскольку NМ лежит в плоскости ASN. Тогда длина NМ и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми AS и ВС.

Заметим, что $SN=AN= корень из: начало аргумента: 19 минус 6 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$ Тогда треугольник SNМ равнобедренный, его высота SNМ является также медианой, а тогда из прямоугольного треугольника АМN находим:

$NM= корень из: начало аргумента: AN в квадрате минус AM в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 13 минус 6 конец аргумента = корень из 7 .$

Ответ: б) $корень из 7 .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) $корень из 7 .$

Аналоги к заданию № 525118: 525139 Все

Источники:

Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 2;

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе