ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 517518 Добавить в вариант

Источники:

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2017;

ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 419 (часть 2).

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие радикалы

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента умножить на синус x= корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента умножить на косинус x$

имеет ровно один корень на отрезке $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

Исходное уравнение равносильно уравнению $корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента умножить на левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0.$ Рассмотрим два случая.

Первый случай: $корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента =0 равносильно x=a.$

Второй случай: $синус x минус косинус x=0$ при условии $x больше или равно a.$

Это уравнение имеет на отрезке $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка$ единственный корень $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ Условие принимает вид $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби больше или равно a.$

То есть в этом случае $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ при $a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Корень уравнения $x=a$ принадлежит отрезку $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка$ при $0 меньше или равно a меньше или равно Пи .$

Корни уравнения $x=a$ и $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ совпадают при $a= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка$ при $a меньше 0$ и $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше или равно Пи .$

Ответ: $a меньше 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше или равно Пи .$

Приведем другое решение.

Имеем:

$система выражений корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента умножить на синус x= корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента умножить на косинус x, 0 меньше или равно x меньше или равно Пи конец системы . равносильно система выражений корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка = 0, 0 меньше или равно x меньше или равно Пи конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x=a, система выражений синус x минус косинус x=0, x минус a больше или равно 0, конец системы . конец системы . 0 меньше или равно x меньше или равно Пи конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x=a, система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , a меньше или равно x, конец системы . конец системы . 0 меньше или равно x меньше или равно Пи . конец совокупности .$ $система выражений корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента умножить на синус x= корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента умножить на косинус x, 0 меньше или равно x меньше или равно Пи конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка = 0, 0 меньше или равно x меньше или равно Пи конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x=a, система выражений синус x минус косинус x=0, x минус a больше или равно 0, конец системы . конец системы . 0 меньше или равно x меньше или равно Пи конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x=a, система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , a меньше или равно x, конец системы . конец системы . 0 меньше или равно x меньше или равно Пи . конец совокупности .$

Построим график полученной системы в осях xOa.

Анализируя график, получаем, что при $a меньше 0$ исходное уравнение на отрезке $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка$ имеет одно решение, при $0 меньше или равно a меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$   — два решения, при $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше или равно Пи$   — одно решение.

Ответ: $a меньше 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше или равно Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек $a=0,\ a= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ и/или $a= Пи$	3
В решении верно найдены корни $x=a$ при $a принадлежит R$ и $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n$ при $a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ,$ возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: $x=a$ при $0 меньше или равно a меньше или равно Пи ,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ при $a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений а из-за вычислительной ошибки	2
В решении верно найден один из корней $x=a$ при $a принадлежит R$ или $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n$ при $a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ,$ возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: $x=a$ при $0 меньше или равно a меньше или равно Пи ,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ при $a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Ответ: $a меньше 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше или равно Пи .$ $a меньше 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше или равно Пи .$

Аналоги к заданию № 517518: 640915 Все

Источники:

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2017;

ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 419 (часть 2).

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 3 комментария · Помощь

Тип 18 № 640915 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 19.04.2023. Досрочная волна, резервный день. Вариант 201

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие радикалы

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет на отрезке [0; π] ровно один корень.

Решение.

Первый случай: $корень из: начало аргумента: x минус a конец аргумента =0.$ Получаем x  =  a.

Второй случай: $синус x минус косинус x=0$ при условии $x больше или равно a.$

Это уравнение имеет на отрезке [0; π] единственный корень $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ Условие принимает вид $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби больше или равно a.$ То есть в этом случае $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ при $a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Корень уравнения x  =  a принадлежит отрезку [0; π] при $0 меньше или равно a меньше или равно Пи .$

Корни уравнения x  =  a и $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ совпадают при $a= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Таким образом, исходное уравнение имеет на отрезке [0; π] ровно один корень при $a меньше 0$ и $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше или равно Пи .$

Ответ: $a меньше 0 ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше или равно Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек a  =  0, $a= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ и/или $a= Пи$	3
В решении верно найдены корни x  =  a при $a принадлежит R$ и $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n$ при $a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,$ $n принадлежит Z ,$ возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: x  =  a при $0 меньше или равно a меньше или равно Пи ,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ при $a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a из-за вычислительной ошибки	2
В решении верно найден один из корней $x=a$ при $a принадлежит R$ или $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n$ при $a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,$ $n принадлежит Z ,$ возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: x  =  a при $0 меньше или равно a меньше или равно Пи ,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ при $a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: $a меньше 0 ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше или равно Пи .$

Аналоги к заданию № 517518: 640915 Все

Источник: ЕГЭ по математике 19.04.2023. Досрочная волна, резервный день. Вариант 201

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе