а)  На­при­мер, число 17.

б)  Если два числа дают оди­на­ко­вых оста­ток при де­ле­нии на 200, то их раз­ность будет де­лить­ся на 200. Имеем:

Сле­до­ва­тель­но, де­лит­ся на 25, от­ку­да Тогда

Таким об­ра­зом, су­ще­ству­ет 36 чисел.

в)  По усло­вию   — целое, по­это­му m  — чет­ное, то есть Имеем:

  — целое, m  — дву­знач­ное, по­это­му

1)  Пусть k  =  25, тогда n может быть любым трех­знач­ным не­чет­ным чис­лом, ко­то­рых го­раз­до боль­ше, чем 36.

2)  Пусть но крат­но пяти. Зна­чит, (n + k) крат­но 10. В за­ви­си­мо­сти от k по­дой­дут либо все чет­ные трех­знач­ные числа, де­ля­щи­е­ся на 5, либо не­чет­ные, де­ля­щи­е­ся на 5. В любом слу­чае таких чисел боль­ше 36.

3)  Пусть k не крат­но 5, k  — не­чет­ное, но сумма (n + k) крат­на 50. По­сколь­ку то (n + k) с уче­том усло­вия при­ни­ма­ет все зна­че­ния, крат­ные 50, при­чем на одно зна­че­ние  — одно зна­че­ние m. Сле­до­ва­тель­но, для каж­до­го k воз­мож­но 18n, что не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи.

4)  Пусть k не крат­но 5, k  — чет­ное, и сумма (n + k) крат­на 25. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но пунк­ту 3) при и воз­мож­ных зна­че­ний (n + k)  — 36, по­это­му воз­мож­ных зна­че­ний n тоже 36. При и воз­мож­ных зна­че­ний (n + k)  — 36, по­это­му воз­мож­ных зна­че­ний n тоже 36. В таб­ли­це пред­став­ле­ны под­хо­дя­щие k и со­от­вет­ству­ю­щие им m. Их 18.

Ответ: а)  17; б)  36; в)  18.

a)  На­при­мер, пусть n  =  14. Имеем Эти числа дают оста­ток 46 при де­ле­нии на 50.

б)  Пусть n² и (n + 22)² дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 50. Тогда число

долж­но де­лить­ся на 50. Это будет вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда n + 11 де­лит­ся на 25. Зна­чит, все ис­ко­мые n имеют вид где p  — на­ту­раль­ное число или 0, и удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ствам Решая не­ра­вен­ства от­но­си­тель­но p, по­лу­ча­ем где то есть ровно 36 раз­лич­ных ре­ше­ний, каж­до­му из ко­то­рых со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное ис­ко­мое число n.

в)  Пусть n² и (n + m)² дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 50. Тогда число

долж­но де­лить­ся на 50. Наи­боль­ший общий де­ли­тель d чисел m и 50 может рав­нять­ся 1, 2, 5, 10 или 25. Чтобы де­ли­лось на 50, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы число де­ли­лось на Если d  =  1, 5 или 25, то m нечётно и таких n не су­ще­ству­ет. Если m чётно, то для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го k имеем m  =  2k, и усло­вию удо­вле­тво­ря­ют те и толь­ко те трёхзнач­ные n, для ко­то­рых де­лит­ся на При d  =  2 таких n су­ще­ству­ет ровно 36, так как под­хо­дя­щи­ми будут те и толь­ко те n, при ко­то­рых n + k де­лит­ся на 25 (ре­ше­ние ана­ло­гич­но пунк­ту б).

б). При d  =  10 таких чисел n будет боль­ше, так как по­дой­дут все трёхзнач­ные числа, для ко­то­рых n + k де­лит­ся на 5. Зна­чит, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют чётные дву­знач­ные числа не крат­ные 5. Так как чётных дву­знач­ных чисел су­ще­ству­ет и 4 из них крат­ны 5, по­лу­ча­ем, что под­хо­дя­щих чисел m су­ще­ству­ет ровно 16.

Ответ: а)  14, б)  36, в)  16.

a)  На­при­мер, пусть n  =  3. Имеем Эти числа дают оста­ток 9 при де­ле­нии на 40.

б)  Пусть n² и (n + 14)² дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 40. Тогда число

долж­но де­лить­ся на 40. Это будет вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда n + 7 де­лит­ся на 10. Зна­чит, все ис­ко­мые n имеют вид где p  — на­ту­раль­ное число или 0, и удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ствам Решая не­ра­вен­ства от­но­си­тель­но p, по­лу­ча­ем:

где то есть 90 раз­лич­ных ре­ше­ний, каж­до­му из ко­то­рых со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное ис­ко­мое число n.

в)  Пусть n² и (n + m)² дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 40. Тогда число долж­но де­лить­ся на 40. Наи­боль­ший общий де­ли­тель d чисел m и 40 может рав­нять­ся 1, 2, 4, 5, 8, 10 или 20. Чтобы де­ли­лось на 40, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы число де­ли­лось на Если d  =  1 или 5, то m нечётно и таких n не су­ще­ству­ет. Если m чётно, то для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го k имеем m  =  2k, и усло­вию удо­вле­тво­ря­ют те и толь­ко те трёхзнач­ные n, для ко­то­рых де­лит­ся на При d  =  2 таких n су­ще­ству­ет ровно 90, так как под­хо­дя­щи­ми будут те и толь­ко те n, при ко­то­рых n + k де­лит­ся на 10 (ре­ше­ние ана­ло­гич­но пунк­ту б). При d  =  4, d  =  8, d  =  20 таких чисел n будет боль­ше, так как по­дой­дут все трёхзнач­ные числа, для ко­то­рых n + k де­лит­ся на 5. При d  =  5, d  =  10 таких чисел n также будет боль­ше, так как по­дой­дут все трёхзнач­ные числа, для ко­то­рых n + k де­лит­ся на 4. Зна­чит, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют чётные дву­знач­ные числа не крат­ные 4 или 5. Это числа 14, 18, 22, 26, 34, 38, и всего их 6.

Ответ: а)  3, б)  90, в)  6.