а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа n2 и (n + 22)2 дают одинаковый остаток при делении на 50.
б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а) свойством?
в) Сколько существует двузначных чисел 
для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что n2 и (n + m)2 одинаковый остаток при делении на 50?
a) Например, пусть n = 14. Имеем 
Эти числа дают остаток 46 при делении на 50.
б) Пусть n2 и (n + 22)2 дают одинаковый остаток при делении на 50. Тогда число
должно делиться на 50. Это будет выполнено тогда и только тогда, когда n + 11 делится на 25. Значит, все искомые n имеют вид 
где p — натуральное число или 0, и удовлетворяют неравенствам 
Решая неравенства относительно p, получаем 
где 
то есть ровно 36 различных решений, каждому из которых соответствует единственное искомое число n.
в) Пусть n2 и (n + m)2 дают одинаковый остаток при делении на 50. Тогда число
должно делиться на 50. Наибольший общий делитель d чисел m и 50 может равняться 1, 2, 5, 10 или 25. Чтобы 
делилось на 50, необходимо и достаточно, чтобы число 
делилось на 
Если d = 1, 5 или 25, то m нечётно и таких n не существует. Если m чётно, то для некоторого натурального k имеем m = 2k, и условию удовлетворяют те и только те трёхзначные n, для которых 
делится на При d = 2 таких n существует ровно 36, так как подходящими будут те и только те n, при которых n + k делится на 25 (решение аналогично пункту б).
б). При d = 10 таких чисел n будет больше, так как подойдут все трёхзначные числа, для которых n + k делится на 5. Значит, условию задачи удовлетворяют чётные двузначные числа не кратные 5. Так как чётных двузначных чисел существует 
и 4 из них кратны 5, получаем, что подходящих чисел m существует ровно 16.
Ответ: а) 14, б) 36, в) 16.