a)  На­при­мер, пусть n  =  3. Имеем Эти числа дают оста­ток 9 при де­ле­нии на 40.

б)  Пусть n² и (n + 14)² дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 40. Тогда число

долж­но де­лить­ся на 40. Это будет вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда n + 7 де­лит­ся на 10. Зна­чит, все ис­ко­мые n имеют вид где p  — на­ту­раль­ное число или 0, и удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ствам Решая не­ра­вен­ства от­но­си­тель­но p, по­лу­ча­ем:

где то есть 90 раз­лич­ных ре­ше­ний, каж­до­му из ко­то­рых со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное ис­ко­мое число n.

в)  Пусть n² и (n + m)² дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 40. Тогда число долж­но де­лить­ся на 40. Наи­боль­ший общий де­ли­тель d чисел m и 40 может рав­нять­ся 1, 2, 4, 5, 8, 10 или 20. Чтобы де­ли­лось на 40, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы число де­ли­лось на Если d  =  1 или 5, то m нечётно и таких n не су­ще­ству­ет. Если m чётно, то для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го k имеем m  =  2k, и усло­вию удо­вле­тво­ря­ют те и толь­ко те трёхзнач­ные n, для ко­то­рых де­лит­ся на При d  =  2 таких n су­ще­ству­ет ровно 90, так как под­хо­дя­щи­ми будут те и толь­ко те n, при ко­то­рых n + k де­лит­ся на 10 (ре­ше­ние ана­ло­гич­но пунк­ту б). При d  =  4, d  =  8, d  =  20 таких чисел n будет боль­ше, так как по­дой­дут все трёхзнач­ные числа, для ко­то­рых n + k де­лит­ся на 5. При d  =  5, d  =  10 таких чисел n также будет боль­ше, так как по­дой­дут все трёхзнач­ные числа, для ко­то­рых n + k де­лит­ся на 4. Зна­чит, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют чётные дву­знач­ные числа не крат­ные 4 или 5. Это числа 14, 18, 22, 26, 34, 38, и всего их 6.

Ответ: а)  3, б)  90, в)  6.