В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 
На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.
параллельна диагонали основания BD, поэтому пересекает основание ABCD по прямой KK1, параллельной BD, K1 лежит на CD. 
поэтому прямая сечения LL1 параллельна BD, где L1 лежит на B1C1. Сечением призмы будет трапеция 
как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах 
следовательно, 
Значит, 
Таким образом, 
следовательно, треугольник 
прямоугольный, 
Таким образом, 
в плоскости AA1C1C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как по доказанному в п. а) 
плоскость 
следовательно, указанный перпендикуляр — искомое расстояние. Найдем 
Заметим, 
Таким образом, 
перпендикулярный плоскости 
Определим координаты точек, лежащих в этой плоскости: 
Подставим найденные координаты в уравнение плоскости 
получим:
не проходит через начало координат, поэтому можно положить D равным любому отличному от нуля числу. Пусть 
тогда 
Следовательно,
Следовательно, векторы 
и 
коллинеарные, а потому 
до плоскости 
определяется по формуле 
получаем:
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно 
На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = 2, а B1L = 4. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
откуда 
Пусть FP — высота трапеции EFB1B (рис. 2), тогда
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно 
На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = B1L = 3. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
и 
на ребрах 
и CB соответственно так чтобы 
Тогда плоскость 
поскольку проекция BM на плоскость ABC — высота треугольника 
Она перпендикулярна AC, а значит и 
По теореме о трех перпендикулярах 
Рассмотрим теперь проекцию 
точки M на плоскость 
Поскольку проекция 
на эту плоскость — середина ребра 
то 
Докажем теперь, что прямая 
перпендикулярна 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется что 
а тогда и 
Обозначим за O точку пересечения отрезков 
за 
— проекцию точки 
Тогда
и 
что и требовалось доказать.
Тогда 
поскольку 
и 
(точки 
и 
). Опустим из T перпендикуляр на прямую 
— это и будет искомое расстояние. В самом деле, все эти точки лежат в плоскости 
перпендикулярной к 
поэтому и описанный выше перпендикуляр тоже перпендикулярен 
В ней 
поскольку отрезки 
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно 
На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
откуда 
Пусть FP — высота трапеции EFC1C (рисунок 2), тогда 
