Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 514534

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно 3 корень из { 6}. На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = B1L = 3. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.

Решение.

а) Отметим точки L_1 и K_1 на ребрах A_1B_1 и CB соответственно так чтобы LL_1\parallel A_1C_1, KK_1\parallel AC. Тогда плоскость \gamma это плоскость LL_1KK_1.

Очевидно BM\perp KK_1, поскольку проекция BM на плоскость ABC — высота треугольника ABC. Она перпендикулярна AC, а значит и KK_1. По теореме о трех перпендикулярах BM\perp KK_1. Рассмотрим теперь проекцию M_1 точки M на плоскость AA_1B_1B. Поскольку проекция C_1 на эту плоскость — середина ребра A_1B_1, то A_1M_1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 A_1B_1=3. Докажем теперь, что прямая BM_1 перпендикулярна KL_1. Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется что BM\perp KL_1, а тогда и BM\perp \gamma. Обозначим за O точку пересечения отрезков BM_1 и KL_1, за L_2 — проекцию точки L_1 на прямую AB. Тогда

 тангенс \angle OBK= тангенс \angle M_1BK= дробь, числитель — M_1K, знаменатель — KB = дробь, числитель — AA_1, знаменатель — 9

 тангенс \angle OKB= тангенс \angle L_1KL_2= дробь, числитель — L_1L_2, знаменатель — L_2K = дробь, числитель — AA_1, знаменатель — 6

 дробь, числитель — AA_1, знаменатель — 9 умножить на дробь, числитель — AA_1, знаменатель — 6 = дробь, числитель — AA_1 в степени 2 , знаменатель — 54 =1

Итак, тангенсы этих углов обратны друг другу, поэтому углы в сумме дают 90 в степени o и \angle KOB=180 в степени o минус 90 в степени o =90 в степени o , что и требовалось доказать.

б) Пусть T — середина AC. Тогда d(C,\gamma)=d(T,\gamma), поскольку AC\parallel \gamma.

Соединим середины LL_1 и KK_1 (точки L_3 и K_3). Опустим из T перпендикуляр на прямую L_3K_3 — это и будет искомое расстояние. В самом деле, все эти точки лежат в плоскости TBB_1, перпендикулярной к KK_1, поэтому и описанный выше перпендикуляр тоже перпендикулярен KK_1. Рассмотрим прямоугольную трапецию TML_3K_3. В ней TK_3= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 умножить на 6 корень из { 3}= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 корень из { 3}, ML_3= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 умножить на 6 корень из { 3}= дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 корень из { 3}, поскольку отрезки KK_1 и LL_1 делят высоты оснований призмы в отношениях 3 : 1 и 1 : 3 считая от вершины соответственно, а высоты равны 6 корень из { 3}.

MT=3 корень из { 6},K_3L_3= корень из { MT в степени 2 плюс (L_3M минус K_3T) в степени 2 }= корень из { 54 плюс 27}=9.

Наконец,

d(T,K_3L_3)= дробь, числитель — 2S_{TK_3L_3}, знаменатель — K_3L_3 = дробь, числитель — d(L_3,TK_3) умножить на TK_3, знаменатель — 9 = дробь, числитель — 3 корень из { 2}, знаменатель — 2 .

Ответ: дробь, числитель — 3 корень из { 2}, знаменатель — 2 .


Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016. Вариант 3 (C часть)