СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 514534

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = B1L = 3. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.

Решение.

а) Отметим точки и на ребрах и соответственно так чтобы , Тогда плоскость это плоскость

Очевидно , поскольку проекция на плоскость  — высота треугольника Она перпендикулярна , а значит и По теореме о трех перпендикулярах Рассмотрим теперь проекцию точки на плоскость Поскольку проекция на эту плоскость — середина ребра , то Докажем теперь, что прямая перпендикулярна Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется что , а тогда и Обозначим за точку пересечения отрезков и , за  — проекцию точки на прямую Тогда

Итак, тангенсы этих углов обратны друг другу, поэтому углы в сумме дают и , что и требовалось доказать.

б) Пусть  — середина Тогда , поскольку

Соединим середины и (точки и ). Опустим из перпендикуляр на  — это и будет искомое расстояние. В самом деле, все эти точки лежат в плоскости , перпендикулярной к , поэтому и описанный выше перпендикуляр тоже перпендикулярен Рассмотрим прямоугольную трапецию В ней , , поскольку отрезки и делят высоты оснований призмы в отношениях 3 : 1 и 1 : 3 считая от вершины соответственно, а высоты равны

Наконец,

Ответ:


Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 3 (C часть)