Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

По­это­му ис­ход­ная си­сте­ма рав­но­силь­на сме­шан­ной си­сте­ме

По­лу­чен­ная сме­шан­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния в том и толь­ко в том слу­чае, когда пря­мые имеет с гра­фи­ком си­сте­мы

ровно две общие точки. Пря­мые, со­от­вет­ству­ю­щие гра­ни­цам этих слу­ча­ев, про­ну­ме­ро­ва­ны на ри­сун­ке чис­ла­ми от 1 до 5. Ис­ко­мы­ми зна­че­ни­я­ми па­ра­мет­ра яв­ля­ют­ся

Ответ:

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние:

Гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся объ­еди­не­ние от­кры­то­го луча AB, за­кры­то­го луча CD и от­рез­ка BE с от­кры­тым кон­цом Вто­рое урав­не­ние пе­ре­пи­шем в виде: оно задаёт мно­же­ство па­рал­лель­ных пря­мых с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­че­ние па­ра­мет­ра a равно ор­ди­на­те точки, в ко­то­рой каж­дая такая пря­мая пе­ре­се­ка­ет ось

Ко­ли­че­ство точек пе­ре­се­се­ний гра­фи­ков со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы. Зна­че­ние на­хо­дим из усло­вия, что пря­мая про­хо­дит через точку также по­сту­пим с осталь­ны­ми па­ра­мет­ра­ми

Таким об­ра­зом, ко­ли­че­ство точек пе­ре­се­че­ний гра­фи­ков в за­ви­си­мо­сти от зна­че­ния a сле­ду­ю­щее:

  — одна точка,   — две точки,   — три точки,   — две точки,   — одна точка,   — две точки,   — одна точка. От­ку­да по­лу­ча­ем ответ к за­да­че.

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

По­это­му ис­ход­ная си­сте­ма рав­но­силь­на сме­шан­ной си­сте­ме

По­лу­чен­ная сме­шан­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния в том и толь­ко в том слу­чае, когда се­мей­ство пря­мых имеет с гра­фи­ком си­сте­мы

ровно две общие точки, то есть при

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет хотя бы два ре­ше­ния в том и толь­ко в том слу­чае, когда се­мей­ство (крас­ных) пря­мых имеет с (синим) гра­фи­ком по­лу­чен­ной си­сте­мы хотя бы две общие точки, то есть при

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние:

Гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся объ­еди­не­ние лучей AB и BE и от­рез­ка CD с от­кры­тым кон­цом D. Вто­рое урав­не­ние пе­ре­пи­шем в виде: оно задаёт мно­же­ство па­рал­лель­ных пря­мых с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­че­ние па­ра­мет­ра a равно ор­ди­на­те точки, в ко­то­рой каж­дая такая пря­мая пе­ре­се­ка­ет ось Oy.

Ко­ли­че­ство точек пе­ре­се­че­ний гра­фи­ков со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы. По­лу­ча­ем, что при ре­ше­ний нет, при ре­ше­ние един­ствен­но, при ре­ше­ний бес­ко­неч­но много, при ре­ше­ние един­ствен­но, при си­сте­ма имеет два ре­ше­ния. От­сю­да и сле­ду­ет ответ.

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние:

Гра­фи­ком по­лу­чен­ной си­сте­мы яв­ля­ют­ся два пе­ре­се­ка­ю­щих­ся от­рез­ка пря­мых с вы­ко­ло­тым кон­цом (см. рис.) и вер­ти­каль­ная пря­мая. Зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет два раз­лич­ных ре­ше­ния в том слу­чае, когда пря­мые имеют с гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния (вы­де­ле­но оран­же­вым) ровно две общие точки.

Из гра­фи­ка видно, что этому со­от­вет­ству­ют зна­че­ния па­ра­мет­ра

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние:

Гра­фи­ком по­лу­чен­ной си­сте­мы яв­ля­ют­ся два пе­ре­се­ка­ю­щих­ся от­рез­ка пря­мых с вы­ко­ло­тым кон­цом (см. рис.) и вер­ти­каль­ная пря­мая. Зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет два раз­лич­ных ре­ше­ния в том слу­чае, когда пря­мые имеют с гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния (вы­де­ле­но оран­же­вым) ровно две общие точки.

Из гра­фи­ка видно, что этому со­от­вет­ству­ют зна­че­ния па­ра­мет­ра:

Ответ: