На пер­вом ку­би­ке 3 и 5 очков в каком-⁠либо по­ряд­ке могут вы­пасть так: при пер­вом бро­са­нии вы­па­ло 3, а при вто­ром 5 или на­о­бо­рот. Всего 2 спо­со­ба. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них равна

Чтобы 3 и 5 очков в каком-⁠то по­ряд­ке вы­па­ло на вто­ром ку­би­ке, он пер­вый раз может вы­пасть че­тырь­мя гра­ня­ми: 3, 3, 5, 5, а вто­рой раз  — двумя гра­ня­ми: 3, 3 или 5, 5, в за­ви­си­мо­сти от того, сколь­ко очков вы­па­ло пер­вый раз. Всего есть 4 · 2  =  8 спо­со­бов. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них также равна

Таким об­ра­зом, есть 10 рав­но­ве­ро­ят­ных ва­ри­ан­тов по­лу­чить 3 и 5, из них вто­ро­му ку­би­ку со­от­вет­ству­ет 8 ва­ри­ан­тов. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что был бро­шен вто­рой кубик, равна

Ответ: 0,8.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пред­по­ло­жим, что бро­са­ли пер­вый кубик. Тогда ве­ро­ят­ность того, что в каком-⁠то по­ряд­ке вы­па­ли 3 и 5 очков, равна

Те­перь пред­по­ло­жим, что бро­са­ли вто­рой кубик. По­сколь­ку на вто­ром ку­би­ке числа 3 и 5 встре­ча­ют­ся по два раза, ве­ро­ят­ность того, что в каком-⁠то по­ряд­ке вы­па­ли 3 и 5 очков, равна

Бро­са­ли либо пер­вый кубик, либо вто­рой  — эти со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность каж­до­го из них равна по­это­му по фор­му­ле пол­ной ве­ро­ят­но­сти ве­ро­ят­ность того, что вы­па­ло 3 и 5 очков, равна

При­ме­ним фор­му­лу Бай­е­са. Пусть со­бы­тие А со­сто­ит в том, что вы­па­ло 3 или 5 очков. Ги­по­те­за H₂ со­сто­ит в том, что бро­си­ли вто­рой кубик. Тогда:

Ответ: 0,8.

Это же ре­ше­ние можно за­пи­сать более фор­маль­но.

Пусть со­бы­тие A  =  {вы­па­ло 3 и 5}, ги­по­те­за H₁  =  {бро­си­ли пер­вый кубик}, ги­по­те­за H₂  =  {бро­си­ли вто­рой кубик}. Тогда

На­хо­дим услов­ные ве­ро­ят­но­сти:

Из най­ден­но­го вы­те­ка­ет пол­ная ве­ро­ят­ность со­бы­тия А:

При­ме­ним фор­му­лу Бай­е­са:

Ответ: 0,8.

На пер­вом ку­би­ке 1 и 2 в каком-либо по­ряд­ке могут вы­пасть сле­ду­ю­щим об­ра­зом: при пер­вом бро­са­нии 1, при вто­ром 2 или на­о­бо­рот. Всего 2 спо­со­ба. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них равна

Чтобы 1 и 2 в каком-⁠то по­ряд­ке вы­па­ли на вто­ром ку­би­ке, он пер­вый раз может вы­пасть любой гра­нью, а вто­рой раз тремя гра­ня­ми с ко­ли­че­ством очков, от­лич­ным от вы­пав­ше­го пер­вый раз. Всего есть 6 · 3  =  18 спо­со­бов. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них также равна

Таким об­ра­зом, всего есть 20 рав­но­ве­ро­ят­ных ва­ри­ан­тов по­лу­чить 1 и 2, из них вто­ро­му ку­би­ку со­от­вет­ству­ет 18 ва­ри­ан­тов. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что бро­са­ли вто­рой кубик, равна то есть 0,9.

Ответ: 0,9.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть со­бы­тие А со­сто­ит в том, что в каком-то по­ряд­ке вы­па­ли 1 и 2, со­бы­тие H₁ со­сто­ит в том, что был вы­бран пер­вый кубик, со­бы­тие H₂ со­сто­ит в том, что был вы­бран вто­рой кубик. Ку­би­ки вы­би­ра­ли слу­чай­ным об­ра­зом, по­это­му Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность того, что бро­са­ли вто­рой кубик, при усло­вии, что вы­па­ло 1 и 2 очка, опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле услов­ной ве­ро­ят­но­сти:

Ве­ро­ят­ность того, что при бро­са­нии пер­во­го ку­би­ка в каком-то по­ряд­ке вы­па­ли 1 и 2, равна

На вто­ром ку­би­ке числа 1 и 2 встре­ча­ют­ся по три раза, ве­ро­ят­ность того, что в каком-⁠то по­ряд­ке вы­па­ли 1 и 2, равна

Сле­до­ва­тель­но, пол­ная ве­ро­ят­ность со­бы­тия А равна

Тогда

На пер­вом ку­би­ке 1 и 2 в каком-либо по­ряд­ке могут вы­пасть сле­ду­ю­щим об­ра­зом: при пер­вом бро­са­нии 1, при вто­ром 2 или на­о­бо­рот. Всего 2 спо­со­ба. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них равна

Чтобы 1 и 2 в каком-⁠то по­ряд­ке вы­па­ли на вто­ром ку­би­ке, он пер­вый раз может вы­пасть любой гра­нью, а вто­рой раз тремя гра­ня­ми с ко­ли­че­ством очков, от­лич­ным от вы­пав­ше­го пер­вый раз. Всего есть 6 · 3  =  18 спо­со­бов. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них также равна

Таким об­ра­зом, всего есть 20 рав­но­ве­ро­ят­ных ва­ри­ан­тов по­лу­чить 1 и 2, из них пер­во­му ку­би­ку со­от­вет­ству­ет 2 ва­ри­ан­та. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что бро­са­ли пер­вый кубик, равна то есть 0,1.

Ответ: 0,1.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть со­бы­тие А со­сто­ит в том, что в каком-то по­ряд­ке вы­па­ли 1 и 2, со­бы­тие H₁ со­сто­ит в том, что был вы­бран пер­вый кубик, со­бы­тие H₂ со­сто­ит в том, что был вы­бран вто­рой кубик. Ку­би­ки вы­би­ра­ли слу­чай­ным об­ра­зом, по­это­му Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность того, что бро­са­ли пер­вый кубик, при усло­вии, что вы­па­ло 1 и 2 очка, опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле услов­ной ве­ро­ят­но­сти:

Ве­ро­ят­ность того, что при бро­са­нии пер­во­го ку­би­ка в каком-⁠то по­ряд­ке вы­па­ли 1 и 2, равна

На вто­ром ку­би­ке числа 1 и 2 встре­ча­ют­ся по три раза, ве­ро­ят­ность того, что в каком-⁠то по­ряд­ке вы­па­ли 1 и 2, равна

Сле­до­ва­тель­но, пол­ная ве­ро­ят­ность со­бы­тия А равна

Тогда

На пер­вом ку­би­ке 4 и 6 очков в каком-либо по­ряд­ке могут вы­пасть так: при пер­вом бро­са­нии вы­па­ло 4, а при вто­ром 6 или на­о­бо­рот. Всего 2 спо­со­ба. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них равна

Чтобы 4 и 6 очков в каком-то по­ряд­ке вы­па­ло на вто­ром ку­би­ке, он пер­вый раз может вы­пасть че­тырь­мя гра­ня­ми: 4, 4, 6, 6, а вто­рой раз двумя гра­ня­ми: 4, 4 или 6, 6, в за­ви­си­мо­сти от того, сколь­ко очков вы­па­ло пер­вый раз. Всего есть 4 · 2  =  8 спо­со­бов. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них также равна

Таким об­ра­зом, есть 10 рав­но­ве­ро­ят­ных ва­ри­ан­тов по­лу­чить 4 и 6, из них вто­ро­му ку­би­ку со­от­вет­ству­ет 8 ва­ри­ан­тов. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что был бро­шен вто­рой кубик равна

Ответ: 0,8.

На пер­вом ку­би­ке 4 и 6 очков в каком-либо по­ряд­ке могут вы­пасть так: при пер­вом бро­са­нии вы­па­ло 4, а при вто­ром 6 или на­о­бо­рот. Всего 2 спо­со­ба. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них равна

Чтобы 4 и 6 очков в каком-⁠то по­ряд­ке вы­па­ло на вто­ром ку­би­ке, он пер­вый раз может вы­пасть че­тырь­мя гра­ня­ми: 4, 4, 6, 6, а вто­рой раз  — двумя гра­ня­ми: 4, 4 или 6, 6, в за­ви­си­мо­сти от того, сколь­ко очков вы­па­ло пер­вый раз. Всего есть 4 · 2  =  8 спо­со­бов. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них также равна

Таким об­ра­зом, есть 10 рав­но­ве­ро­ят­ных ва­ри­ан­тов по­лу­чить 4 и 6, из них пер­во­му ку­би­ку со­от­вет­ству­ет 2 ва­ри­ан­та. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что был бро­шен пер­вый кубик, равна

Ответ: 0,2.

На пер­вом ку­би­ке 5 и 6 в каком-либо по­ряд­ке могут вы­пасть сле­ду­ю­щим об­ра­зом: при пер­вом бро­са­нии 5, при вто­ром 6 или на­о­бо­рот. Всего 2 спо­со­ба. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них равна

Чтобы 5 и 6 в каком-то по­ряд­ке вы­па­ли на вто­ром ку­би­ке, он пер­вый раз может вы­пасть любой гра­нью, а вто­рой раз тремя гра­ня­ми с ко­ли­че­ством очков, от­лич­ным от вы­пав­ше­го пер­вый раз. Всего есть 6 · 3  =  18 спо­со­бов. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них также равна

Таким об­ра­зом, всего есть 20 рав­но­ве­ро­ят­ных ва­ри­ан­тов по­лу­чить 5 и 6, из них вто­ро­му ку­би­ку со­от­вет­ству­ет 18 ва­ри­ан­тов. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что бро­са­ли вто­рой кубик, равна то есть 0,9.

Ответ: 0,9.

Пред­по­ло­жим, что бро­са­ли пер­вый кубик. Тогда ве­ро­ят­ность того, что в каком-то по­ряд­ке вы­па­ли 3 и 5 очков, равна

Те­перь пред­по­ло­жим, что бро­са­ли вто­рой кубик. По­сколь­ку на вто­ром ку­би­ке числа 3 и 5 встре­ча­ют­ся по два раза, ве­ро­ят­ность того, что в каком-то по­ряд­ке вы­па­ли 3 и 5 очков, равна

Бро­са­ли либо пер­вый кубик, либо вто­рой  — эти со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность каж­до­го из них равна по­это­му по фор­му­ле пол­ной ве­ро­ят­но­сти ве­ро­ят­ность того, что вы­па­ло 3 и 5 очков, равна

При­ме­ним фор­му­лу Бай­е­са:

Ответ: 0,2.

Это же ре­ше­ние можно за­пи­сать более фор­маль­но.

Пусть со­бы­тие A  =  {вы­па­ло 3 и 5}, ги­по­те­за H₁  =  {бро­си­ли пер­вый кубик}, ги­по­те­за H₂  =  {бро­си­ли вто­рой кубик}. Тогда

На­хо­дим услов­ные ве­ро­ят­но­сти:

Из най­ден­но­го вы­те­ка­ет пол­ная ве­ро­ят­ность со­бы­тия А:

При­ме­ним фор­му­лу Бай­е­са: