а)  Углы APC и AQC  — пря­мые, зна­чит, точки A, Q, P и C лежат на одной окруж­но­сти с диа­мет­ром AC, а сле­до­ва­тель­но, равны и впи­сан­ные углы PAC и PQC этой окруж­но­сти, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу PC, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABP и CBQ имеют общий угол ABC, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да или но тогда и тре­уголь­ни­ки BAC и BPQ также по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен

Ответ:

а)  Углы NAK и NBK, опи­ра­ю­щи­е­ся на от­ре­зок KN, равны, зна­чит, точки A, B, N и K лежат на одной окруж­но­сти, а сле­до­ва­тель­но, равны и впи­сан­ные углы ABK и ANK этой окруж­но­сти, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу AK, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки KMB и NMA имеют общий угол KMN, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да или но тогда и тре­уголь­ни­ки KMN и BMA также по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да

Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM, равен

Ответ:

а)  Углы NAK и NBK, опи­ра­ю­щи­е­ся на от­ре­зок KN, равны, зна­чит, точки A, B, N и K лежат на одной окруж­но­сти, а, сле­до­ва­тель­но, равны и впи­сан­ные углы ABK и ANK этой окруж­но­сти, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу AK, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки KMB и NMA имеют общий угол KMN, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да или но тогда и тре­уголь­ни­ки KMN и BMA также по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM равен

Ответ:

а)  Рас­смот­рим окруж­ность с диа­мет­ром AC. Углы APC и AQC  — пря­мые, а зна­чит яв­ля­ют­ся впи­сан­ны­ми опи­ра­ю­щи­ми­ся на диа­метр AC. Зна­чит, точки A, Q, P и C лежат на одной окруж­но­сти, а, сле­до­ва­тель­но, равны и впи­сан­ные углы PAC и PQC этой окруж­но­сти, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу PC, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABP и CBQ имеют общий угол ABC, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да или но тогда и тре­уголь­ни­ки BAC и BPQ также по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен

Ответ:

а)  Углы NAK и NBK, опи­ра­ю­щи­е­ся на от­ре­зок KN, равны, зна­чит, точки A, B, N и K лежат на одной окруж­но­сти, а, сле­до­ва­тель­но, равны и впи­сан­ные углы ABK и ANK этой окруж­но­сти, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу AK, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки KMB и NMA имеют общий угол KMN, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да или но тогда и тре­уголь­ни­ки KMN и BMA также по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да

Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM равен

Ответ:

а)  Углы NAK и NBK, опи­ра­ю­щи­е­ся на от­ре­зок KN, равны, зна­чит, точки A, B, N и K лежат на одной окруж­но­сти, а, сле­до­ва­тель­но, равны и впи­сан­ные углы ABK и ANK этой окруж­но­сти, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу AK, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки KMB и NMA имеют общий угол KMN, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны, от­ку­да или но тогда и тре­уголь­ни­ки KMN и BMA также по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­ку­да Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM равен

Ответ: