PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.
Решение. а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, а следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.
б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда 
или 
но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен 
откуда 
Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, равен 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
и ∠KMN = 45°.
или 
но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен 
откуда 
и 
Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен 
и 
и 
Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен 
