PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше, чем 
Решение. При 
то есть на отрезке 
функция имеет вид
а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вне отрезка функция имеет вид
а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 
Возможное расположение этих парабол показано на рисунках.
Если 
принадлежит отрезку 
то наименьшее значение функция может принимать только в точках 
и 
Если 
— то в точке Наименьшее значение функции 
больше 
тогда и только тогда, когда:
либо 
либо 
Решим первую систему:
Решим вторую систему:
Ответ: 
Приведём другое решение.
При то есть на отрезке функция имеет вид
а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вне отрезка функция имеет вид
а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии
Следовательно, наименьшее значение функция может принять только в точках 
или Поэтому наименьшее значение функции больше −24 тогда и только тогда, когда 
и 
Имеем:
Приведём ещё одно решение.
Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности. Следовательно, она достигает своего наименьшего значения. Наименьшее значение больше −24 тогда и только тогда, когда все значения функции больше −24. Поэтому необходимо и достаточно найти такие значения параметра, при которых неравенство 
верно для всех х.
Положим 
и запишем неравенство в виде
Определим значения k, при которых график левой части неравенства лежит выше графика правой части. График правой части — прямая с угловым коэффициентом k, проходящая через точку (0; −24). График левой части неравенства вне отрезка [1; 5] совпадает с параболой 
а на этом отрезке является отражением лежащей ниже оси абсцисс части этой параболы в верхнюю полуплоскость (см. рис.).
Найдем значения параметра, соответствующие касанию прямой 
и параболы 
Для этого приравняем к нулю дискриминант квадратного уравнения 
Покажем, что при 
касание происходит именно с графиком функции 
а не с лежащей ниже оси абсцисс частью параболы 
Рассмотрим прямую p, проходящую через точки с координатами (0; −24) и (5; 0). Определим ее угловой коэффициент: 
Сравним угловые коэффициенты k1 и k2:
Следовательно, 
а потому справа от общей точки (0; −24) касательная проходит ниже прямой p и, значит, касается параболы в точке лежащей выше оси абсцисс. Тем самым подходят все значения k такие, что: 
Возвращаясь к параметру a, получаем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток, содержащий верный ответ, либо содержащийся в верном промежутке. | 2 |
| Задача сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
больше, чем 
принадлежит отрезку 
то наименьшее значение функция может принимать только в точках 
и 
Если 
— то еще и в точке 
тогда и только тогда, когда либо
либо 
или 
функция имеет вид:
функция имеет вид:
принадлежит отрезку 
— то еще и в точке 
либо 
больше 1.
получаем, что 
График этой функции на рассматриваемом промежутке состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 
При 
находим 
а график этой функции на рассматриваемом промежутке — часть параболы с ветвями, направленными вниз.
то второе неравенство принимает вид 
откуда 
Этот промежуток содержит интервал 
то 
откуда 
Значит, 
функция принимает вид: 
а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии 
а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз и осью симметрии 
а если 
(то есть при 
), то в точке 
тогда и только тогда, когда:
и 
график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. На отрезке [1; 3] график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Наименьшее значение функции достигается либо на краях отрезка [1; 3] или в вершине параболы, ветви которой направлены вверх, то есть в одной из трёх точек 
или 
при условии 
Для выполнения условия задачи должен быть выполнен один из двух случаев:
