ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 513209 Добавить в вариант

Для каждого a определите наибольшее значение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 3ax в квадрате$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 2;2 правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Возьмем производную функции и разберем несколько случаев, $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате минус 6ax=3x левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка .$

При $a больше 1$ производная положительна на $левая квадратная скобка минус 2; 0 правая круглая скобка$ и отрицательна на $левая круглая скобка 0; 2 правая квадратная скобка ,$ поэтому наибольшее значение достигается при $x=0$ и равно 0.

При $a=1$ производная положительна на $левая квадратная скобка минус 2; 0 правая круглая скобка$ и отрицательна на $левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка ,$ поэтому наибольшее значение достигается при $x=0$ и равно 0.

При $0 меньше a меньше 1$ производная положительна на $левая квадратная скобка минус 2; 0 правая круглая скобка ,$ отрицательна на $левая круглая скобка 0; 2a правая круглая скобка ,$ положительна на $левая круглая скобка 2a, 2 правая квадратная скобка ,$ поэтому наибольшее значение достигается при $x=0$ или при $x=2,$ то есть равно 0 или $8 минус 12a$ (второе больше при $a меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

При $a=0$ производная неотрицательна на всем отрезке, поэтому наибольшее значение достигается при $x=2$ и равно 8.

При $минус 1 меньше a меньше 0$ производная положительна на $левая квадратная скобка минус 2; 2a правая круглая скобка ,$ отрицательна на $левая круглая скобка 2a; 0 правая круглая скобка ,$ положительна на $левая круглая скобка 0, 2 правая квадратная скобка ,$ поэтому наибольшее значение достигается при $x=2$ или при $x=2a,$ то есть равно $минус 4a в кубе$ или $8 минус 12a$ (второе больше, так как оно больше восьми, а первое меньше четырех).

При $a= минус 1$ производная отрицательна на $левая квадратная скобка минус 2; 0 правая круглая скобка$ и положительна на $левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка ,$ поэтому наибольшее значение достигается при $x=\pm 2$ и равно 20 или 4  — значит, 20.

При $a меньше минус 1$ производная отрицательна на $левая квадратная скобка минус 2; 0 правая круглая скобка$ и положительна на $левая круглая скобка 0; 2 правая квадратная скобка ,$ поэтому наибольшее значение достигается при $x=\pm 2$ и равно $\pm8 минус 12a.$ Очевидно, надо выбирать $8 минус 12a.$

Ответ: При $a меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ получаем $8 минус 12a,$ при $a больше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ получаем 0.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 142

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь