СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 513210

а) Среди 9 монет оди­на­ко­во­го до­сто­ин­ства одна фаль­ши­вая — ее вес мень­ше, чем у на­сто­я­щих. Как при по­мо­щи двух взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь вы­де­лить фаль­ши­вую мо­не­ту?

б) Из­вест­но, что среди гирь до­сто­ин­ством 1 кг, 2 кг, 3 кг и 5 кг одна гиря от­ли­ча­ет­ся по весу от мар­ки­ров­ки, ука­зан­ной на ней. Можно ли при по­мо­щи двух взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь вы­де­лить «не­пра­виль­ную» гирю?

в) Среди 12 монет оди­на­ко­во­го до­сто­ин­ства одна фаль­ши­вая — ее вес от­ли­ча­ет­ся от веса на­сто­я­щих, но не­из­вест­но, легче она на­сто­я­щих или тя­же­лее. За какое наи­мень­шее число взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь можно вы­де­лить фаль­ши­вую мо­не­ту и при этом уста­но­вить, легче она или тя­же­лее на­сто­я­щих?

Ре­ше­ние.

а) Взве­сим по три мо­не­ты. Если одна из троек пе­ре­ве­сит, то фаль­ши­вая в дру­гой трой­ке, если же на весах рав­но­ве­сие, то фаль­ши­вая среди трех, ко­то­рые мы не брали. В любом слу­чае оста­ет­ся три по­до­зри­тель­ных мо­не­ты.

Взве­сим две из них. По этому взве­ши­ва­нию фаль­ши­вая най­дет­ся.

б) Про­ве­рим ра­вен­ства Если на­ру­ша­ет­ся толь­ко пер­вое ра­вен­ство, то не­пра­виль­на гиря 1 кг, если толь­ко вто­рое — 5 кг. Если в обоих ра­вен­ствах пе­ре­ве­ши­ва­ет одна чашка, то 3 кг, если раз­ные чашки — то 2 кг.

в) Про­ну­ме­ру­ем мо­не­ты чис­ла­ми от 1 до 12. Взве­сим мо­не­ты 1—4 с мо­не­та­ми 5—8.

1) Если весы в рав­но­ве­сии, то все мо­не­ты на них на­сто­я­щие. Взве­сим с

Если весы и сей­час в рав­но­ве­сии, то фаль­ши­вая — 12 и, взве­ши­вая ее с 1, опре­де­лим, легче она или тя­же­лее.

Если же рав­но­ве­сия нет, то фаль­ши­вая среди монет 9—11, и мы знаем ее тип (легче она или тя­же­лее). Из трех монет можно найти фаль­ши­вую за одно взве­ши­ва­ние (см. пункт а)

2) Если одна чашка пе­ре­ве­си­ла. Пусть, на­при­мер, это чашка 1—4. Тогда либо одна из них тя­же­лее на­сто­я­щих, либо одна из 5—8 легче на­сто­я­щих.

Взве­сим 1, 2, 5 и 3, 4, 6.

Если весы в рав­но­ве­сии, то взве­сим 7 и 8 — фаль­ши­вая та из них, ко­то­рая легче.

Если одна чашка пе­ре­ве­си­ла, то пусть, на­при­мер, это чашка 1, 2, 5. Это озна­ча­ет, что фаль­ши­вая либо 1 либо 2 (тя­же­лее на­сто­я­щей), либо 6 (легче на­сто­я­щей). Взве­ши­вая 1 и 2, мы опре­де­лим, какая си­ту­а­ция ре­а­ли­зо­ва­лась.

До­ка­жем, что за 2 взве­ши­ва­ния сде­лать этого нель­зя. До­пу­стим, есть такой ал­го­ритм. При его вы­пол­не­нии может про­изой­ти 9 ва­ри­ан­тов (3 ре­зуль­та­та пер­во­го взве­ши­ва­ния и в каж­дом из них три ре­зуль­та­та вто­ро­го взве­ши­ва­ния). По этим ва­ри­ан­там мы долж­ны на­звать фаль­ши­вую мо­не­ту од­но­знач­но. Но по­сколь­ку монет 12, то какую-то из них наш ал­го­ритм ни­ко­гда не на­зо­вет фаль­ши­вой. Зна­чит, если имен­но она фаль­ши­вая, ал­го­ритм даст не­пра­виль­ный ответ.

 

Ответ: б) да, в) 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства