СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 513207

В окружности проведены хорды АС и ВD, пересекающиеся в точке О, причем касательная к окружности, проходящая через точку С, параллельна ВD.

а) Докажите, что DC2 = АС ∙ СО.

б) Найдите площадь треугольника СDО, если известно, что AB : ВО = 3 : 1, а площадь треугольника АСD равна 36.

Решение.

а) Проведем диаметр окружности CK. Он будет перпендикулярным к заданной касательной, к которой параллельна хорда BD. Отсюда получим: BD ⊥ CK.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Отрезок диаметра, принадлежащий ΔBD окажется его высотой и медианой, откуда: ΔBCD — равнобедренный, то есть BC = DC, ∪BmC = ∪DnC.

В ΔCOD и ΔACD: ∠ACD — общий, ∠CDB = ∠CAD как вписанные, опирающиеся на равные дуги BmC и DnC соответственно. Значит, Δ COD ~ ΔACD, откуда:

что и требовалось доказать,

б) В треугольниках ABO и CDOABD = ∠ACD как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AKD, ∠BAC = ∠CDB как вписанные углы опирающиеся на дугу BmC. Следовательно, ΔABO ~ ΔCDO,

Но значит, Выше было получено: Тогда:

Треугольники ACD и CDO имеют равные высоты, проводимые к сторонам AC и CO соответственно. Тогда:

 

Ответ: б) 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности