PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 22, CD = 77. Найдите периметр четырехугольника ABCD.
Даны векторы 
Найдите длину вектора 
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 20. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме "Производная". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Производная".
Биатлонист 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график функции 
и отмечены точки −1, 1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора 
Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением 
Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе 
кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением 
(с), где 
— постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 28 с. Ответ дайте в киловольтах.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 154 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
На рисунке изображён график функции 
Найдите 
Найдите точку минимума функции 
a) Решите уравнение 
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA.
а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.
б) Найдите объем пирамиды MABF, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и AB = 4.
Решите неравенство 
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 10 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 20% меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 12,952 млн рублей. Найдите r.
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. Отрезок EH — перпендикуляр из точки E на прямую MK.
а) Докажите, что EK ∥ CH.
б) Известно, что AC = 12, BC = 5. Найти отношение CH к EK.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно 2 решения.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее −30. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — на 3. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1?
б) Может ли количество синих карт быть равным 40?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
при заданных значениях начального напряжения на конденсаторе 
кВ, сопротивления резистора 
Ом и ёмкости конденсатора 
Ф:
км/ч — скорость велосипедиста на пути из A в B, тогда скорость велосипедиста на пути из B в A — 
км/ч. Сделав на обратном пути остановку на 3 часов, велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B, отсюда имеем: 
Таким образом, 
Шестиугольник ABCDEF — правильный, следовательно, прямая BC соответственно параллельна прямым AD и KM, а 
В четырехугольнике BCKM прямые KM и BC параллельны и 
а потому этот четырехугольник — параллелограмм. Прямые BK и CM параллельны, значит, они лежат в одной плоскости.
Из прямоугольного треугольника NOQ получаем:
Сумма углов MCE и MHE равна 180°, поэтому четырехугольник MHEC — вписанный. Следовательно, углы EMH и ECH равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу, которую стягивает эта хорда, а потому 
Таким образом, 
то есть при пересечении прямых EK и CH секущей BC соответственные углы равны, а такие прямые параллельны.
Пусть 
тогда из равнобедренного треугольника BEK находим 
Получаем:
Из условия получаем:
Отрезок EM — диаметр описанной около четырехугольника CEHM окружности, потому что на него опираются два прямых угла. Эта окружность служит описанной и для треугольника CEH. По свойству вписанного четырехугольника получаем 
По теореме синусов для треугольника CEH находим:
а потому
а потому
значения 
не определены, а корень 
Этот случай подходит.
уравнение имеет три решения: 
Этот случай не подходит.
уравнение имеет два положительных корня 
и два отрицательных. Для того, чтобы уравнение имело ровно два решения, необходимо, чтобы были равны два отрицательных и два положительных корня соответственно. Корни 
и 
При этом значении параметра отрицательные корни 
и 
также совпадают. Следовательно, при 
уравнение имеет два решения: 
Этот случай подходит.
уравнение имеет положительный корень 
что больше –2. Этот случай не подходит.