а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС, АВ  =  ВС  =  2. На бо­ко­вом ребре АА₁, рав­ном 4, вы­бра­на точка М такая, что угол ВМС₁  — пря­мой.

а)  До­ка­жи­те, что тан­генс угла между пря­мы­ми MC и BC₁ равен 

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми MC и BC₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Борис взял в банке кре­дит на сумму 12 мил­ли­о­нов руб­лей на 4 года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r%.

—  с фев­ра­ля по июнь не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга.

—  банк при­ме­ня­ет гиб­кую став­ку: пока оста­ток долга (до на­чис­ле­ния про­цен­тов) пре­вы­ша­ет по­ло­ви­ну из­на­чаль­ной суммы, став­ка r со­став­ля­ет 20%. Как толь­ко оста­ток долга ста­но­вит­ся равен или мень­ше по­ло­ви­ны из­на­чаль­ной суммы, став­ка сни­жа­ет­ся до 10%.

Из­вест­но, что Борис гасил кре­дит так, что после каж­до­го его пла­те­жа долг умень­шал­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Най­ди­те общую сумму вы­плат Бо­ри­са банку за все 4 года.

Окруж­ность с цен­тром в точке О, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны CD в точке K. Пря­мая АK пе­ре­се­ка­ет вы­со­ту CН тра­пе­ции в точке Р и про­хо­дит через точку О.

а)  До­ка­жи­те, что ВС : AD  =  1 : 3.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AРQ к пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD, если Q  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции ABCD.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень.

Назовём на­ту­раль­ное число N > 6 «цен­тром», если числа N − 1 и N + 1  — про­стые.

а)  Может ли сумма пяти раз­лич­ных «цен­тров» окан­чи­вать­ся на цифру 7?

б)  Су­ще­ству­ет ли такая воз­рас­та­ю­щая по­сле­до­ва­тель­ность из четырёх «цен­тров», ко­то­рая об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?

в)  Из­вест­но, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское k раз­лич­ных «цен­тров» равно 54. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать k?