Окружность с центром в точке О, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD с основаниями 
касается боковой стороны CD в точке K. Прямая АK пересекает высоту CН трапеции в точке Р и проходит через точку О.
а) Докажите, что ВС : AD = 1 : 3.
б) Найдите отношение площади треугольника AРQ к площади трапеции ABCD, если Q — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD.
а) Продлим прямую AK за точку K и прямую BC за точку C до пересечения в точке M. Центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на пересечении ее биссектрис, поэтому 
Пусть 
В описанном четырехугольнике 
то есть 
откуда 
Углы DAM и BMA равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AM, а потому треугольник ABM — равнобедренный. Следовательно,
Отрезки касательных, проведенных из одной точки равны, поэтому 
то есть 
Углы CKM и DKA равны как вертикальные, поэтому треугольники CKM и DKA подобны. Следовательно, 
откуда
Таким образом, 
б) Прямоугольные треугольники APH и MPC подобны по двум углам, поэтому
откуда 
Из подобия треугольников AQD и CQB находим, что 
то есть 
Площади треугольников с общим углом относятся как произведения длин сторон, заключающих этот угол, поэтому для треугольников APQ и AMC с общим углом при вершине A получаем:
Выразим площади треугольника AMC и трапеции ABCD:
Таким образом,
Ответ: 