Ре­ше­ние. а)  Най­дем ОДЗ:

При по­лу­чен­ных огра­ни­че­ни­ях под­ко­рен­ные вы­ра­же­ния дроби по­ло­жи­тель­ны, по­это­му на них можно со­кра­тить. Сле­до­ва­тель­но:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дит число 

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. а)  Если пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, то равны его ка­те­ты, по­это­му а по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Пусть тогда для тре­уголь­ни­ка BMC₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем от­ку­да

Ана­ло­гич­но из тре­уголь­ни­ка BCC₁ на­хо­дим:

то есть

Рас­смот­рим приз­му ABCA₂B₂C₂, рав­ную дан­ной и имеб­щей с ней общее ос­но­ва­ние ABC. Пря­мые CB₂ и BC₁ па­рал­лель­ны, а по­то­му угол между пря­мы­ми MC и BC₁ равен углу между пря­мы­ми MC и BC₂. По по­стро­е­нию а по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ков MA₂B₂ и AMC со­от­вет­ствен­но на­хо­дим:

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MCB₂ по­лу­ча­ем:

а по­то­му

б)  Пусть d  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды MBCC₁ равен

С дру­гой сто­ро­ны, объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен

то есть

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Най­дем ОДЗ:

Под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние на ОДЗ по­ло­жи­тель­но, по­это­му на ко­рень можно раз­де­лить, не меняя знака не­ра­вен­ства. К остав­ше­му­ся вы­ра­же­нию при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции: на ОДЗ знак вы­ра­же­ния сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния знак вы­ра­же­ния вида сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния а знак вы­ра­же­ния сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния По­лу­ча­ем на ОДЗ:

Учи­ты­вая ОДЗ, окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем: или

Ответ:

Ре­ше­ние. Так как кре­дит га­сил­ся рав­ны­ми пла­те­жа­ми и был взят на 4 года, еже­год­но долг умень­шал­ся на 3 млн руб. Таким об­ра­зом, в пер­вые два года дей­ство­ва­ла став­ка 20%, а в по­след­ние два года  — 10%. Со­ста­вим гра­фик по­га­ше­ния кре­ди­та:

Год	Пла­теж, млн руб.	Долг, млн руб.
1		9
2		6
3		3
4		0

На­хо­дим общую сумму вы­плат:

Ответ: 17,1 млн руб.

Ре­ше­ние. а)  Про­длим пря­мую AK за точку K и пря­мую BC за точку C до пе­ре­се­че­ния в точке M. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, лежит на пе­ре­се­че­нии ее бис­сек­трис, по­это­му Пусть В опи­сан­ном че­ты­рех­уголь­ни­ке то есть от­ку­да Углы DAM и BMA равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых BC и AD се­ку­щей AM, а по­то­му тре­уголь­ник ABM  — рав­но­бед­рен­ный. Сле­до­ва­тель­но,

От­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки равны, по­это­му то есть Углы CKM и DKA равны как вер­ти­каль­ные, по­это­му тре­уголь­ни­ки CKM и DKA по­доб­ны. Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Таким об­ра­зом,

б)  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки APH и MPC по­доб­ны по двум углам, по­это­му

от­ку­да Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AQD и CQB на­хо­дим, что то есть Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков с общим углом от­но­сят­ся как про­из­ве­де­ния длин сто­рон, за­клю­ча­ю­щих этот угол, по­это­му для тре­уголь­ни­ков APQ и AMC с общим углом при вер­ши­не A по­лу­ча­ем:

Вы­ра­зим пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMC и тра­пе­ции ABCD:

Таким об­ра­зом,

Ответ: б)