Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 700452
i

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС, АВ  =  ВС  =  2. На бо­ко­вом ребре АА1, рав­ном 4, вы­бра­на точка М такая, что угол ВМС1  — пря­мой.

а)  До­ка­жи­те, что тан­генс угла между пря­мы­ми MC и BC1 равен  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та .

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми MC и BC1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Если пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, то равны его ка­те­ты, по­это­му \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 = 90 гра­ду­сов, а по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AC = A_1C_1 = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Пусть AM = x, тогда для тре­уголь­ни­ка BMC1 по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем BC_1 в квад­ра­те = BM в квад­ра­те плюс MC_1 в квад­ра­те , от­ку­да

BC_1 в квад­ра­те = BM в квад­ра­те плюс MC_1 в квад­ра­те = AM в квад­ра­те плюс AB в квад­ра­те плюс A_1M в квад­ра­те плюс A_1C_1 в квад­ра­те =
= x в квад­ра­те плюс 4 плюс левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = x в квад­ра­те плюс 4 плюс 16 минус 4x плюс x в квад­ра­те плюс 8 = 2x в квад­ра­те минус 8x плюс 28.

Ана­ло­гич­но из тре­уголь­ни­ка BCC1 на­хо­дим:

BC_1 в квад­ра­те = BC в квад­ра­те плюс CC_1 в квад­ра­те = 2 в квад­ра­те плюс 4 в сте­пе­ни 4 = 20,

то есть

2x в квад­ра­те минус 8x плюс 28 = 20 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 4x плюс 4 = 0 рав­но­силь­но x = 2.

Рас­смот­рим приз­му ABCA2B2C2, рав­ную дан­ной и имеб­щей с ней общее ос­но­ва­ние ABC. Пря­мые CB2 и BC1 па­рал­лель­ны, а по­то­му угол между пря­мы­ми MC и BC1 равен углу между пря­мы­ми MC и BC2. По по­стро­е­нию CB_2 в квад­ра­те = BC_1 в квад­ра­те = 20, а по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ков MA2B2 и AMC со­от­вет­ствен­но на­хо­дим:

B_2M в квад­ра­те = A_2B_2 в квад­ра­те плюс MA_2 в квад­ра­те = AB в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка AA_1 плюс AM пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 4 плюс 36 = 40,

MC в квад­ра­те = AC в квад­ра­те плюс AM в квад­ра­те = 8 плюс 4 = 12.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MCB2 по­лу­ча­ем:

ко­си­нус \angle MCB_2 = дробь: чис­ли­тель: MC в квад­ра­те плюс CB_2 в квад­ра­те минус MB_2 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2MC умно­жить на CB_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12 плюс 20 минус 40, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби ,

а по­то­му

тан­генс \angle MCB_2 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те \angle MCB_2, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те \angle MCB_2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби : дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та .

б)  Пусть d  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды MBCC1 равен

V_MBCC_1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AB умно­жить на S_BCC_1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BC умно­жить на CC_1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на 4 = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

С дру­гой сто­ро­ны, объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен

V_MBCC_1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби MC умно­жить на BC_1 умно­жить на d умно­жить на синус \widehat левая круг­лая скоб­ка MC; BC_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та умно­жить на d умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d,

то есть

дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та d = 4 рав­но­силь­но d = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 540
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026