Най­ди­те боль­шую диа­го­наль ромба, сто­ро­на ко­то­ро­го равна  а ост­рый угол равен 60°.

Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат век­то­ра  +

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да у ко­то­ро­го

Ве­ро­ят­ность того, что новый DVD-⁠про­иг­ры­ва­тель в те­че­ние года по­сту­пит в га­ран­тий­ный ре­монт, равна 0,045. В не­ко­то­ром го­ро­де из 1000 про­дан­ных DVD-⁠про­иг­ры­ва­те­лей в те­че­ние года в га­ран­тий­ную ма­стер­скую по­сту­пи­ла 51 штука. На сколь­ко от­ли­ча­ет­ся ча­сто­та со­бы­тия «га­ран­тий­ный ре­монт» от его ве­ро­ят­но­сти в этом го­ро­де?

В одном ре­сто­ра­не в г. Там­бо­ве ад­ми­ни­стра­тор пред­ла­га­ет го­стям сыг­рать в «Шеш-⁠беш»: гость бро­са­ет од­но­вре­мен­но две иг­раль­ные кости. Если он вы­бро­сит ком­би­на­цию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух по­пы­ток, то по­лу­чит ком­пле­мент от ре­сто­ра­на: чашку кофе или де­серт бес­плат­но. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность по­лу­чить ком­пле­мент? Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик диф­фе­рен­ци­ру­е­мой функ­ции y  =  f(x). На оси абс­цисс от­ме­че­ны де­вять точек: x₁, x₂, x₃, ..., x₉. Среди этих точек най­ди­те все точки, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) от­ри­ца­тель­на. В от­ве­те ука­жи­те ко­ли­че­ство най­ден­ных точек.

Рей­тинг R ин­тер­нет-ма­га­зи­на вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

где   — сред­няя оцен­ка, дан­ная экс­пер­та­ми,   — сред­няя оцен­ка, дан­ная по­ку­па­те­ля­ми, K  — число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин. Най­ди­те рей­тинг ин­тер­нет-⁠ма­га­зи­на, если число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин, равно 24, их сред­няя оцен­ка равна 0,86, а оцен­ка экс­пер­тов равна 0,11.

Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 80 км/⁠ч, про­ез­жа­ет мимо при­до­рож­но­го стол­ба за 36 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­ной AB  =  4 и диа­го­на­лью BD  =  7. Все бо­ко­вые рёбра пи­ра­ми­ды равны 4. На диа­го­на­ли BD ос­но­ва­ния ABCD от­ме­че­на точка E, а на ребре AS  — точка F так, что SF  =  BE  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CEF па­рал­лель­на ребру SB.

б)  Плос­кость CEF пе­ре­се­ка­ет ребро SD в точке Q. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки Q до плос­ко­сти ABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В двух об­ла­стях есть по 160 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 5 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,1 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти ра­бо­чие объ­еди­не­ны в две бри­га­ды, одна из ко­то­рых до­бы­ва­ет алю­ми­ний, а дру­гая  — ни­кель, при­чем для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x² че­ло­ве­ко-⁠часов труда, а для до­бы­чи у кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся у² че­ло­ве­ко-⁠часов труда.

Для нужд про­мыш­лен­но­сти можно ис­поль­зо­вать или алю­ми­ний, или ни­кель, причём 1 кг алю­ми­ния можно за­ме­нить 1 кг ни­ке­ля. Какую наи­боль­шую массу ме­тал­лов можно за сутки сум­мар­но до­быть в двух об­ла­стях?

На про­дол­же­нии сто­ро­ны АС за вер­ши­ну А тре­уголь­ни­ка АВС от­ме­че­на точка D так, что AD  =  AB. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку А, па­рал­лель­но BD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну ВС в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что AM  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка АВС.

б)  Найти S_AMBD, если AC  =  30, BC  =  18 и AB  =  24.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно ре­ше­ний.

а)  Су­ще­ству­ет ли ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, со­сто­я­щая из пяти на­ту­раль­ных чисел, такая, что сумма наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го чле­нов этой про­грес­сии равна 99?

б)  Ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из шести на­ту­раль­ных чисел. Сумма наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го чле­нов этой про­грес­сии равна 9. Най­ди­те все числа, из ко­то­рых со­сто­ит эта про­грес­сия.

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чле­нов ко­неч­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из на­ту­раль­ных чисел, равно 6,5. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в этой про­грес­сии?