ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 512663 Добавить в вариант

Решите неравенство $дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка минус 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка плюс 35, знаменатель: 1 минус 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 4 в степени x умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Последовательно получаем:

$дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 2x минус 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс 35, знаменатель: 1 минус 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 2x правая круглая скобка минус 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 минус 2x плюс 1 правая круглая скобка плюс 35, знаменатель: 1 минус 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 2x плюс 1 конец дроби меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 4x плюс 4 равносильно$ $дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 2x минус 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс 35, знаменатель: 1 минус 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 2x правая круглая скобка минус 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 минус 2x плюс 1 правая круглая скобка плюс 35, знаменатель: 1 минус 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 2x плюс 1 конец дроби меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 4x плюс 4 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 2x правая круглая скобка минус 32 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 минус 21 правая круглая скобка плюс 35, знаменатель: 1 минус 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 2x конец дроби меньше или равно 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 2x.$

Пусть $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 2x=t,$ t > 0. Тогда:

$дробь: числитель: t в квадрате минус 32t плюс 35, знаменатель: 1 минус 2t конец дроби минус 16t меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 32t плюс 35 минус 16t плюс 32t в квадрате , знаменатель: 1 минус 2t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 33t в квадрате минус 48t плюс 35, знаменатель: t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби больше или равно 0.$ $дробь: числитель: t в квадрате минус 32t плюс 35, знаменатель: 1 минус 2t конец дроби минус 16t меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 32t плюс 35 минус 16t плюс 32t в квадрате , знаменатель: 1 минус 2t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 33t в квадрате минус 48t плюс 35, знаменатель: t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби больше или равно 0.$ $дробь: числитель: t в квадрате минус 32t плюс 35, знаменатель: 1 минус 2t конец дроби минус 16t меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 32t плюс 35 минус 16t плюс 32t в квадрате , знаменатель: 1 минус 2t конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 33t в квадрате минус 48t плюс 35, знаменатель: t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби больше или равно 0.$

Квадратный трехчлен $33t в квадрате минус 48t плюс 35 больше 0$ при любом t, поскольку $дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби =576 минус 1155 меньше 0.$

В таком случае $t больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Перейдем к переменной x.

$2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 2x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 2x больше 2 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно x в квадрате минус 2x плюс 1 больше 0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше 0.$

Последнее неравенство верно при всех x ∈ R, за исключением числа 1.

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 140

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.3 Показательные неравенства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь